Dispersion de Dirac

Choisir une masse m, une impulsion p et la branche de fréquence positive ou négative ; les changements valides actualisent immédiatement le graphique. Les exemples électron, muon et proton utilisent les valeurs pédagogiques arrondies 1, 206,77 et 1836,15 masses de l’électron ; Sans masse utilise zéro. Les exemples changent la masse et conservent l’impulsion. Les unités sont fixes : c = ħ = mₑ = 1, avec l’impulsion en mₑc et l’énergie en mₑc². Les champs masse et impulsion acceptent des décimales finies, y compris une virgule décimale. La masse autorisée est 0 ou 10⁻⁹…10⁶ ; l’impulsion est 0 ou de module 10⁻⁹…4×10⁶. La borne inférieure non nulle est une limite numérique d’entrée, pas une exclusion physique.

Pour le signe de branche s = ±1, la relation libre est E_s(p) = s√(p² + m²). Sa tangente locale a pour vitesse de groupe v_g = dE_s/dp = p/E_s. La droite de l’origine au point sélectionné a pour vitesse de phase v_p = E_s/p. Les deux conservent leur signe. À p = 0, la vitesse de phase et sa droite sont indéfinies. Quand m > 0, la vitesse de groupe au repos est nulle. À m = p = 0, les courbes sans masse ±|p| ont un rebroussement : il n’existe ni tangente ni vitesse de groupe uniques. Pour m = 0 et p ≠ 0, les deux modules de vitesse valent 1.

Pour m > 0, γ = √(p² + m²)/m ; pour m = 0 il ne s’applique pas. L’énergie au repos est m et la séparation des deux sommets est 2m. Cet écart n’est pas un seuil général de production de paires par photons : la conservation de l’énergie et de l’impulsion et le processus d’interaction comptent. L’outil ne calcule ni création de paires ni interaction. La vitesse de phase peut avoir un module supérieur à c ; elle ne décrit pas le transport d’un signal.

Les courbes positive et négative sont des branches de valeurs propres / fréquences de l’équation libre. Le demi-plan ombré optionnel désigne les fréquences négatives. Dans le champ libre quantifié, les excitations de particule et d’antiparticule ont une énergie positive. Interpréter un mode de fréquence négative comme antiparticule inverse aussi l’affectation d’impulsion ; les pentes ici se rapportent au mode tracé. La mer de Dirac est une interprétation historique, pas une simulation supplémentaire de particules occupées dans ce graphique.

Les références sans masse optionnelles sont E = ±p. Pour m > 0 les approximations non relativistes sont ±(m + p²/(2m)), valides pour |p| beaucoup plus petit que m ; seules leurs portions visibles sont montrées. Elles ne s’appliquent pas à m = 0. La demi-étendue horizontale est p_max = min(4×10⁶, max(3, 4m, 1.25|p|)) ; la demi-étendue d’énergie est 1.12√(p_max² + m²). Les changements numériques ou de branche reconstruisent directement le graphique. Le curseur et les clics actualisent la sonde sur les mêmes axes. Une coordonnée de tap de module inférieur à 10⁻⁹ sélectionne zéro pour retirer un résidu d’arrondi ; le champ numérique ne borne jamais les valeurs en silence.

L’enveloppe optionnelle est A(x,t) = exp[−½((x − v_g t)/0.45)²], affichée pour −6 ≤ x ≤ 6 et 0 ≤ t ≤ 4. Son centre est exactement x = v_g t, dans les unités naturelles de temps et de longueur associées à c = 1. Sa largeur gaussienne fixe est schématique : il n’y a ni onde porteuse, ni spineur, ni étalement, ni évolution dispersive complète. Démarrer et Pause commandent cette illustration ; Temps à 0 remet son horloge à zéro en conservant le tracé de dispersion. L’animation s’arrête à t = 4 sans cycler. Au rebroussement sans masse elle n’est pas disponible.

Changer la sonde ou une option met l’enveloppe en pause et remet son temps à zéro. Masquer la page la met en pause sans rattrapage ultérieur. Seuls les textes exacts masse/impulsion, la branche et les choix de comparaison/enveloppe sont conservés, même incomplets. Les anciens réglages numériques valides sont repris. Revenir ou recharger recalcule les résultats au temps zéro ; graphiques, sondes et temps d’animation ne sont pas sauvegardés. Réinitialiser restaure les valeurs directes par défaut. Affichage contient les références facultatives et l’enveloppe. Démarrer lance explicitement ce mouvement schématique.

Sources : David Tong, The Dirac Equation, §4.7, pour les solutions en ondes planes et les fréquences positives/négatives ; Quantizing the Dirac Field, §5.2–5.3, pour les excitations d’énergie positive de particule et d’antiparticule et l’interprétation historique en trous.