Paradoxe des anniversaires

Le modèle attribue à chaque personne un anniversaire indépendant parmi 365 jours équiprobables. Un groupe est un succès si au moins deux personnes partagent un jour. Il ne modélise ni les jours bissextiles, ni les taux de naissance saisonniers, ni une dépendance entre anniversaires. Les indices de jour 1–365 sont des catégories de modèle, pas des dates de calendrier.

Théorie : pour 0 ≤ n ≤ 365, la probabilité d’aucune coïncidence est q = ∏_j=0ⁿ⁻¹(1 − j/365) ; la probabilité de coïncidence est p = 1 − q. Pour n = 0 ou 1, p = 0 exactement. À n = 23, p ≈ 50,73 %. À n = 366, p = 1 par le principe des tiroirs. Pour n = 365, q reste positif même lorsque l’arithmétique flottante arrondit p à 1. L’affichage marque les valeurs 100 % arrondies par ≈ et conserve q dans les détails de théorie.

Monte Carlo : saisissez 0–366 personnes, 100–20 000 groupes et une graine 32 bits (0–4 294 967 295), puis Démarrer. L’estimation d’échantillon est le nombre de groupes avec une coïncidence divisé par le nombre achevés. La graine reproduit la même suite ; Pause et Reprendre conservent sa position. Chaque anniversaire d’un groupe est tiré, y compris ceux après sa première coïncidence. L’onglet dernier groupe ne montre que les jours occupés par deux personnes ou plus, avec le nombre total de personnes et de jours occupés. Les exemples changent la taille du groupe sans changer la graine.

Incertitude : seule une exécution achevée affiche l’intervalle de score de Wilson nominal 95 % bilatéral. Avec M groupes, k succès, p̂ = k/M et z = 1.959963984540054, son centre est (p̂ + z²/(2M))/(1 + z²/M), et sa demi-longueur est z√(p̂(1−p̂)/M + z²/(4M²))/(1 + z²/M). C’est un intervalle fréquentiste approximatif, pas une promesse que chaque exécution contient la valeur théorique. Il est calculé pour le nombre de groupes choisi avant l’échantillonnage, pas comme une bande de confiance simultanée en regardant ou en pause. Pour les cas déterministes du modèle n = 0, 1 et 366, la valeur exacte connue remplace l’incertitude de Wilson.

Lecture et commandes : ○ marque la théorie, × l’estimation d’échantillon ; la barre orange finale est l’intervalle de Wilson. Une estimation d’échantillon à côté de la valeur théorique est une variation aléatoire normale, pas automatiquement une erreur. L’incertitude décrit un échantillonnage indépendant idéal répété ; un flux pseudo-aléatoire reproductible n’est pas une preuve d’indépendance statistique. Modifier un paramètre efface l’exécution, y compris un résultat fini. Répéter utilise la même graine et répète donc le résultat. Réinitialiser conserve les entrées, la navigation conserve les entrées valides, et revenir ne démarre pas l’échantillonnage.

Sources : MIT 6.041/6.431, Recitation 4 (2010), problème 1 ; NIST/SEMATECH e-Handbook §7.2.4.1, intervalle de confiance de Wilson.

La courbe théorique se met à jour dès que les entrées sont valides ; seul Démarrer génère des groupes aléatoires. Les exemples et la graine sont dans les réglages. Seuls les brouillons de saisie, même incomplets, restent dans le stockage local du navigateur. Navigation et réinitialisation effacent les résultats simulés ; le retour affiche la théorie sans reprendre les tirages.