Aiguille de Buffon

C’est le modèle d’aiguille courte de Buffon : une aiguille droite de longueur L tombe parmi des droites parallèles espacées de d, avec 0 < L ≤ d. Les deux longueurs sont en millimètres. La position dans une période de droite et la direction sont uniformes. Mettre L et d à l’échelle ensemble laisse les probabilités inchangées. Les aiguilles plus longues exigent une autre formule et sont rejetées.

Chaque lancer utilise une phase de centre y ∈ [0,d) et un angle θ ∈ [0,π). Il touche lorsque min(y,d−y) ≤ (L/2)|sin θ|. Toucher l’une ou l’autre droite compte de façon symétrique, et chaque aiguille contribue au plus à un touché. La probabilité du modèle est p = 2L/(πd). Après n lancers et K touchés, le taux observé est K/n et l’estimation est π̂ = 2(L/d)n/K. Sans touché, il n’y a pas d’estimation finie de π ; un tiret est affiché à la place de zéro.

La graine fixe une suite reproductible. Le générateur 32 bits utilise s ← (1664525s + 1013904223) mod 2³² et u = (s + 0.5)/2³². Chaque aiguille consomme exactement deux valeurs, d’abord pour y puis pour θ. C’est un générateur pédagogique, pas une source de hasard cryptographique. L’affichage ne consomme aucune valeur aléatoire : le placement horizontal dépend de l’indice du lancer et de la vue disponible, et le placement vertical ne change y que par des multiples entiers de d. Le plancher montre les 200 dernières aiguilles à échelle x/y égale. Les aiguilles rouges, plus épaisses, touchent une ligne ; les bleues, plus fines, ne la touchent pas. La ligne en pointillés indique π. Les comptes et le tracé de convergence linéaire utilisent chaque lancer, y compris les grandes estimations précoces.

Démarrer devient Pause pendant la lecture ; Reprendre poursuit le même essai. Une fois terminé, Démarrer lance un nouvel essai avec les mêmes entrées. L’animation montre environ 250 lancers par seconde ; sans animation, Démarrer termine immédiatement l’essai prévu. Les réglages contiennent l’animation et la graine reproductible. Une aiguille avance d’un seul lancer. Les entrées redessinent automatiquement une expérience vide sans échantillonnage. Réinitialiser conserve les entrées et efface l’essai. Les saisies brutes, même les nombres inachevés, restent après navigation ou rechargement ; les échantillons et historiques ne restent pas. Masquer met en pause et abandonne le temps d’affichage accumulé. Les graphiques utilisent la place disponible ; l’axe de convergence suit le nombre de lancers déjà observés. Tout l’historique, y compris les valeurs extrêmes initiales, reste inclus.

Seulement au compte final prévu l’outil montre un intervalle de Wilson 95 % [pL,pU] pour le taux de touchés, avec z = 1.959963984540054. Avec p̂ = K/n, son centre est (p̂ + z²/(2n))/(1 + z²/n) et sa demi-largeur est z√(p̂(1−p̂)/n + z²/(4n²))/(1 + z²/n). L’intervalle π correspondant est [2(L/d)/pU, 2(L/d)/pL]. Quand pL = 0, la borne supérieure est non bornée ; c’est une borne d’intervalle, pas une estimation ponctuelle disponible. Une couverture nominale 95 % ne garantit pas que chaque exécution à graine contienne π, et ce n’est pas un intervalle continûment valide pour choisir répétitivement quand s’arrêter.

Sources : Treibergs, Integral Geometry, diapositives 20–21 dérive la probabilité et l’estimateur de l’aiguille courte ; étendre son énoncé L < d à L = d suit ici par continuité et positions de bord de probabilité nulle. NIST : Binomial Proportions décrit l’intervalle de Wilson. Sa transformation monotone en intervalle de π et le report seulement à la fin prévue sont des choix de cet outil.