Simulador de billar

La mesa se muestra antes de la primera colisión. La flecha indica la dirección inicial sin avanzar el modelo. Iniciar y Pausa comparten un botón. Borrar conserva las entradas y vuelve a la vista previa. La trayectoria muestra el impacto y los ángulos; el espacio de fases muestra s y p. Ambas vistas conservan el número de colisiones y la distancia. Los campos o un toque en la mesa eligen un nuevo inicio.

Una partícula puntual ideal se mueve en línea recta y se refleja elásticamente en el borde. No hay fuerzas, fricción, radio finito de bola ni obstáculos. Las unidades de coordenada son arbitrarias; el modelo usa velocidad unidad. La reproducción se mide en colisiones por segundo de visualización, no en tiempo de vuelo físico. Las geometrías pueden comportarse de forma distinta; esto no afirma que toda órbita o mesa sea caótica.

Inicio y controles. El inicio debe quedar estrictamente dentro de la mesa elegida. Un inicio en el borde o fuera se rechaza, nunca se mueve en silencio. Los inicios a menos de 128 epsilons de máquina (unas 2.84×10⁻¹⁴ unidades de coordenada) del borde también se rechazan por ambigüedad numérica. El ángulo inicial se mide en sentido antihorario desde +x en vueltas: 0 es a la derecha, 0.25 arriba, 0.5 a la izquierda, y 1 equivale a 0. Iniciar arranca o reanuda; Una colisión pausa y avanza hasta exactamente un nuevo impacto en el borde. Borrar conserva las entradas y vuelve a la vista previa. Un toque en la trayectoria fija nuevas coordenadas de entrada y detiene la ejecución anterior; no simula. Los campos numéricos son la alternativa de teclado.

Un cambio de dominio, inicio o dirección borra la trayectoria. Vista, cuadrícula, paleta y un cambio válido de cadencia de reproducción conservan el modelo y el historial. Las herramientas y pestañas del navegador ocultas pausan. Las pausas largas de visualización aportan como máximo 0.25 segundos a una actualización de reproducción. La ejecución se detiene tras 10,000 colisiones; se conservan como máximo 10,000 vértices de trayectoria y 10,000 puntos de fase regulares. PNG guarda la vista activa etiquetada del lienzo.

Mesas fijas. Rectángulo: media anchura 0.48, media altura 0.34. Círculo: radio 0.44. Elipse: semiejes 0.5 y 0.32. Estadio: semilongitud recta 0.28 y radio de casquete 0.22. Triángulo y polígonos regulares de 3 a 12 lados: circunradio 0.42, primer vértice en el ángulo π/2. Ambos ejes de la trayectoria tienen la misma escala; y apunta hacia arriba.

Reflexión. Para la normal unitaria saliente n, v_out = v_in − 2(v_in·n)n. El ángulo incidente a la normal saliente iguala el ángulo saliente a la normal entrante; ambos se informan como ángulos no negativos. La flecha i termina en la colisión, la flecha o empieza ahí, y n discontinua apunta hacia fuera. Las longitudes de las flechas son ilustrativas. El modelo pasa el punto de borde calculado al siguiente rayo sin un desplazamiento interior artificial.

Una esquina de polígono, incluida una esquina de rectángulo, no tiene normal única ni continuación definida en este modelo. Esos impactos se detienen sin velocidad saliente ni p. Las uniones del estadio son continuas en tangente y no son esquinas de polígono. Las tangencias y las colisiones demasiado próximas para distinguirse en aritmética de coma flotante también se detienen de forma explícita. Las intersecciones de rayos usan raíces cuadráticas estables; las decisiones de esquina y de distancia casi nula tienen precisión finita.

Espacio de fases con signo. s es la longitud de arco antihoraria dividida por el perímetro, en [0,1). Con la tangente unitaria antihoraria t = (−n_y,n_x), p = v_out·t / |v_out| está en [−1,1]. Su signo distingue las dos direcciones tangenciales; p = 0 es incidencia normal. El origen es el punto más a la derecha para círculo y elipse, el primer vértice para polígonos, la esquina inferior izquierda para el rectángulo, y (−a,−r) para el estadio. El orden del estadio es borde inferior, casquete derecho, borde superior, casquete izquierdo. Las longitudes de arco de elipse usan una cuadratura de Simpson de 2048 paneles en caché con evaluación de panel parcial y son aproximaciones numéricas. Los demás perímetros y trozos de arco usan sus longitudes analíticas.

Fuentes: MIT, Paul Seidel: 18.900 Lecture 6 (ley de reflexión y continuación de esquina indefinida); DynamicalBilliards.jl: phase spaces (longitud de arco del borde y ángulo saliente con signo).