Orthogonale Polynome

Orthogonale Polynome

Legendre Pₙ, Chebyshev erster Art Tₙ und Physiker-Hermite Hₙ bis Grad32 erkunden. Nullstellen sind rot; anklicken oder in der Liste auswählen. Klicken oder Ziehen im Plot wertet einen freien Punkt aus.

Hermite zeigt zunächst ψₙ(x)=Hₙ(x)exp(−x²/2)/√hₙ. Diese separat definierte normierte Funktion macht innere Schwingungen sichtbar, die große Polynomwerte verdecken. Die Polynomansicht bleibt wählbar; große Werte erhalten einen beschrifteten Skalenfaktor.

Die Gewichte sind1, (1−x²)^(−1/2) und exp(−x²). Quadratische Normen:2/(2n+1), π für n=0 beziehungsweise π/2 für n>0 und √π·2ⁿ·n!. Hermite nutzt H₀=1,H₁=2x, nicht die stochastische Konvention.

Die Diagnostik berechnet normierte gewichtete Skalarprodukte mit der passenden Gauß-Regel und max(n,m)+1 Stützstellen. Im Gegensatz zum endlichen Plot erfasst Hermite-Quadratur den gesamten gewichteten reellen Bereich. In exakter Arithmetik sind diese Polynomprodukte exakt integrierbar; bei Gleitkommazahlen bleiben Residuen. Selbstprodukte nähern sich1, gemischte Produkte0, außer n=m. Abgetasteter Plot und numerische Nullstellen bleiben Darstellungen mit endlicher Genauigkeit.

Familie, Grad und Ansicht aktualisieren direkt; Zahlen nach kurzer Eingabepause. Die Vergleichskurve zeigt Grad m auf denselben Achsen. Beide Kurven nutzen dieselbe Skala; bei Hermite wird die Vergleichskurve auf den von n bestimmten Ausschnitt begrenzt. Nullstellen und Punktmarkierung gehören zu n. Orthogonalität bedeutet ein gewichtetes Integral und nicht, dass sich Kurven niemals schneiden.

Die Sitzung erhält unfertige Felder, offene Bereiche und berechnete Ergebnisse im Browser. JSON sichert die Arbeit als Datei, insbesondere bei fehlendem Speicher. Beim Laden eines Ergebnisses wird der begrenzte Polynomplot günstig rekonstruiert; unfertige Arbeit bleibt unfertig.

Nur Eingabewerte bleiben in diesem Browser erhalten. Berechnete Ergebnisse und Versuchsverläufe werden nicht gespeichert.