Kugelflächenfunktionen

Winkelfunktionen auf S² mit ganzzahligem Grad 0≤ℓ≤20 und |m|≤ℓ. θ wird von +z gemessen, φ läuft von +x nach +y. Das komplexe Y verwendet die orthonormale Condon–Shortley-Konvention. Re Y und Im Y haben für m≠0 die quadrierte Norm 1/2; bei m=0 sind es 1 und 0.

Die reelle orthonormale Basis verwendet Tℓ0=Yℓ0, Tℓm=√2(−1)^m Re Yℓm für m>0 und Tℓm=√2(−1)^|m| Im Yℓ|m| für m<0. Positive Ordnungen sind Kosinus-, negative Sinusmoden. Jedes T hat quadrierte Norm 1. m verändert tatsächlich die Winkelfunktion.

Die Farbe zeigt S. Vorzeichenbehaftete Modi verwenden [−Bℓ,Bℓ] mit Bℓ=√((2ℓ+1)/(4π)); der Betrag nutzt [0,Bℓ]. Diese Schranke aus dem Additionstheorem hängt nicht von einem abgetasteten Maximum ab. Die Amplitudenansicht nutzt r=|S|/Bℓ ohne positiven Grundradius: Knoten treffen sich im Ursprung. Die Kugelansicht hält r=1. Dies sind Winkeldiagramme, keine atomaren Elektronendichte-Orbitale oder physikalischen Entfernungen.

Zum Betrachten ziehen. Das normale Mausrad scrollt die Seite, Strg/Meta+Mausrad zoomt. Automatische Drehung ist optional und pausiert in ausgeblendeten Tools. Winkel bewegen die weiße Probe ohne neues Gitter; exakte Werte stehen in den aufklappbaren Angaben. Die quadrierte Norm ist analytisch, kein gemessenes Gitterintegral. Ein endliches Dreiecksnetz nähert die Fläche an, besonders bei großem ℓ. Eingabeänderungen verwerfen alte Flächen; erneutes Anzeigen entsorgt GPU-Ressourcen. PNG enthält Parameter und aktuelle Kameraansicht.

NIST DLMF 14.30: Normierung, Symmetrie und Additionstheorem.

Beispiele wählen Grad und Ordnung in der reellen Basis. Komponente, Darstellung und Palette aktualisieren die Grafik sofort; gültige Grad-/Ordnungseingaben nach kurzer Pause oder Enter. Einpassen zentriert und skaliert die Ansicht. Die Formdefinition steht im Tooltip der Farblegende. Eine fertige Fläche wird mit der begrenzten Gitterberechnung aus ihren exakten Parametern rekonstruiert, nicht aus einem Bildschirmfoto. Neue oder unfertige Sitzungen erzeugen keine Fläche.

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