Trommelmoden

Eigenformen, feste Knoten und Schwingungen einer kreisförmigen Membran untersuchen.

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Eine stehende Mode untersuchen

Beispiel wählen oder Winkelordnung m, Radialindex n, Formkoeffizient A und Gitterauflösung eingeben. Darstellen bereitet die Mode pausiert bei t = 0 vor. Zeitfeld und Regler bewegen die Probe durch 0…2T₀₁. Bei Tempo 1× dauert eine Grundperiode T₀₁ vier reale Sekunden. Zeit zurücksetzen kehrt bei gleicher Mode zur Anfangsphase zurück. Nach Änderungen an m, n, A oder Gitter ist erneutes Darstellen nötig; das Tempo beeinflusst nur die Wiedergabe.

Eigenform und Frequenz

Für eine homogene kreisförmige Membran mit festem Rand gelten φ = Jm(αmnr/R) cos(mθ) und u = Aφ cos[2π(f/f₀₁)(t/T₀₁)]. αmn ist die n-te positive Nullstelle von Jm. Die Frequenz- und Periodenverhältnisse lauten f/f₀₁ = αmn/α₀₁ und T/T₀₁ = α₀₁/αmn.

m = 0…3 zählt die Knotendurchmesser; m = 0 ist rotationssymmetrisch. n = 1…4 zählt die positive radiale Nullstelle einschließlich des festen Außenrands. Es gibt daher n − 1 innere Knotenringe. Am festen Rand gilt stets u = 0. Die inneren Ringradien ergeben sich aus früheren Nullstellen geteilt durch αmn; die Knotendurchmesser erfüllen cos(mθ) = 0.

A = 0…1 ist ein dimensionsloser Bessel-Formkoeffizient, keine für jede Mode eigens normierte Maximalhöhe. Bei A = 0 ruht die Membran; ihre strukturellen Knotenlinien bleiben markiert. Der momentane Durchgang der gesamten Membran durch u = 0 erzeugt keine zusätzlichen Eigenmodenknoten.

Beispiel: Für m = 0 und n = 2 gelten α₀₂ ≈ 5,52007811 und f/f₀₁ ≈ 2,29541727. Der einzige innere Knotenring liegt bei r ≈ 0,43565064R.

Die Ansichten lesen

Das transparente Drahtgitter zeigt sämtliche Gitterlinien in einer orthografischen Projektion. Seine Höhe ist auf 1,5u überhöht; die horizontalen Koordinaten heißen x/R und y/R. Der Blickwinkel ändert den Azimut bei fester Neigung von 35°. Die Zeichnung verwendet keine Perspektive und blendet keine verdeckten Flächen aus.

Die Draufsicht verwendet für jede Zeit und Mode dieselbe feste Skala −1…1: Blau bedeutet negativ, Orange positiv und der neutrale Hintergrund null. Die Farbstärke folgt der Auslenkung, nach einer halben Schwingung kehren sich die Farben um. Der durchgezogene Rand, die inneren Ringe und Durchmesser markieren strukturelle Knoten. Das Kreuz zeigt in beiden Ansichten dieselbe Probe. Unter Probe und Ansicht lassen sich r/R = 0…1 und θ = 0…360° einstellen; θ zählt gegen den Uhrzeigersinn ab +x. φ gibt dort die räumliche Eigenform an, u die momentane Auslenkung.

Das ideale Membranmodell nimmt gleichmäßige Spannung und Flächendichte an und berücksichtigt weder Biegesteifigkeit noch Dämpfung, Luftkopplung oder Tonerzeugung. Die Verhältnisse sind dimensionslos; absolute Frequenzen erfordern den tatsächlichen Radius, die Spannung und die Flächendichte.

Quellen