Trommelmoden

Eine stehende Mode untersuchen

Ein Beispiel wird sofort dargestellt. Änderungen an den Modenwerten aktualisieren die Ansicht nach kurzer Eingabepause und setzen die Zeit auf null; die Wiedergabe bleibt pausiert. Darstellen beginnt ebenfalls bei null. Zeit und Probe reagieren direkt. Bei Tempo 1× dauert eine Grundperiode vier reale Sekunden.

Neuladen stellt fertige Ansichten mit exakt pausierter Zeit wieder her, einschließlich unfertiger Eingaben und offener Bereiche.

Eigenform und Frequenz

Für eine homogene kreisförmige Membran mit festem Rand gelten φ = J_m(α_mnr/R) cos(mθ) und u = Aφ cos[2π(f/f₀₁)(t/T₀₁)]. α_mn ist die n-te positive Nullstelle von J_m. Die Frequenz- und Periodenverhältnisse lauten f/f₀₁ = α_mn/α₀₁ und T/T₀₁ = α₀₁/α_mn.

m = 0…3 zählt die Knotendurchmesser; m = 0 ist rotationssymmetrisch. n = 1…4 zählt die positive radiale Nullstelle einschließlich des festen Außenrands. Es gibt daher n − 1 innere Knotenringe. Am festen Rand gilt stets u = 0. Die inneren Ringradien ergeben sich aus früheren Nullstellen geteilt durch α_mn; die Knotendurchmesser erfüllen cos(mθ) = 0.

A = 0…1 ist ein dimensionsloser Bessel-Formkoeffizient, keine für jede Mode eigens normierte Maximalhöhe. Bei A = 0 ruht die Membran; ihre strukturellen Knotenlinien bleiben markiert. Der momentane Durchgang der gesamten Membran durch u = 0 erzeugt keine zusätzlichen Eigenmodenknoten.

Beispiel: Für m = 0 und n = 2 gelten α₀₂ ≈ 5,52007811 und f/f₀₁ ≈ 2,29541727. Der einzige innere Knotenring liegt bei r ≈ 0,43565064R.

Die Ansichten lesen

Das transparente Drahtgitter zeigt sämtliche Gitterlinien in einer orthografischen Projektion. Seine Höhe ist auf 1,5u überhöht; die horizontalen Koordinaten heißen x/R und y/R. Der Blickwinkel ändert den Azimut bei fester Neigung von 35°. Die Zeichnung verwendet keine Perspektive und blendet keine verdeckten Flächen aus.

Die Draufsicht verwendet für jede Zeit und Mode dieselbe feste Skala −1…1: Blau bedeutet negativ, Orange positiv und der neutrale Hintergrund null. Die Farbstärke folgt der Auslenkung, nach einer halben Schwingung kehren sich die Farben um. Der durchgezogene Rand, die inneren Ringe und Durchmesser markieren strukturelle Knoten. Das Kreuz zeigt in beiden Ansichten dieselbe Probe. Unter Probe und Ansicht lassen sich r/R = 0…1 und θ = 0…360° einstellen; θ zählt gegen den Uhrzeigersinn ab +x. φ gibt dort die räumliche Eigenform an, u die momentane Auslenkung.

Das ideale Membranmodell nimmt gleichmäßige Spannung und Flächendichte an und berücksichtigt weder Biegesteifigkeit noch Dämpfung, Luftkopplung oder Tonerzeugung. Die Verhältnisse sind dimensionslos; absolute Frequenzen erfordern den tatsächlichen Radius, die Spannung und die Flächendichte.

Quellen

• NIST DLMF §10.21(i) — positive Bessel-Nullstellen und ihre Eigenschaften.
• NIST DLMF Gl. 10.9.2 — Integraldarstellung ganzzahliger Besselfunktionen.
• Dan Russell, Penn State: Vibrational Modes of a Circular Membrane — Knotendurchmesser, Ringe und Frequenzverhältnisse.

Die Zeitanzeige ist für stabile Felder gerundet; Rechnung und Fortsetzen verwenden die volle Rechenzeit. In der Draufsicht klicken oder ziehen, um die Probe zu verschieben und zu pausieren. PNG pausiert und erfasst beide Ansichten im selben Zeitpunkt.

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