Wärme- und Wellengleichungen

Ausbreitung und Schwingung vergleichen

Wärme oder Welle wählen und starten. Pause und Schritt erlauben die Betrachtung einzelner Zeitschritte. Zurücksetzen leert das Ergebnis und behält die Eingaben. Geänderte Modellparameter beginnen beim nächsten Start ein neues Experiment. Das Sinusbeispiel setzt die Ränder auf null.

Modell

Alle Größen sind dimensionslos auf 0 ≤ x ≤ 1. Wärme folgt uₜ = κuₓₓ mit Randwert null oder isolierten Rändern. Bei Isolation bleibt der Feldmittelwert erhalten; Ränder auf null können Wärme abführen. Wellen folgen uₜₜ + 2γuₜ = c²uₓₓ mit festen Enden und Anfangsgeschwindigkeit null. γ ist eine Rate pro Modellzeiteinheit, kein Verlust pro Schritt. Alle Profile werden an die gewählten Ränder angepasst.

Numerik und Referenzen

Wärme nutzt explizite zentrale Ortsdifferenzen mit κΔt/Δx² ≤ ½. Wellen nutzen zentrale Zeit- und Ortsdifferenzen mit cΔt/Δx ≤ 1 und einen Anfangsschritt zweiter Ordnung. Automatische Schritte verwenden 90 % beziehungsweise 80 % dieser Grenzen. Eigene Schritte dürfen zwischen einem Achtel der Stabilitätsgrenze und der Grenze liegen. Weniger Gitterpunkte oder größere Schritte verringern den Rechenaufwand; Gitter- und Zeitverfeinerung prüfen den numerischen Fehler.

Bei festen Nullrändern und Anfangsprofil sin(πx) gilt für Wärme u = exp(−κπ²t)sin(πx), für die ungedämpfte Welle u = cos(cπt)sin(πx). Die Wellenenergie nähert ½∫(uₜ² + c²uₓ²)dx an. Kleine numerische Schwankungen sind zu erwarten; Dämpfung baut Energie ab. Es handelt sich nicht um thermische Energie.

Grafik lesen

Gestricheltes Anfangsprofil und eine nicht schrumpfende Amplitudenskala machen Abklingen sichtbar. Der Verlauf hält höchstens 160 Profile; die Achse zeigt Modellzeit. Die Wiedergabe strebt 0,05 Wärme- beziehungsweise 0,5 Wellenzeiteinheiten je Sekunde an und kann unter Last langsamer laufen. Scharfe Profile enthalten unaufgelöste Frequenzen; Stabilität allein garantiert keine Genauigkeit.

Quellen: Langtangen & Linge: Diffusion; Wellenränder und Dämpfung.