Wärme- und Wellengleichungen

Ausbreitung und Schwingung vergleichen

Gleichung, Profil und Ränder wählen. Auswahlen aktualisieren sofort, Zahlen nach kurzer Eingabepause oder Enter. Jede Änderung bereitet ein pausiertes Experiment bei null vor. Darstellen erzeugt das erste Ergebnis. Abspielen, Pause und Schritt steuern die Zeit; Ergebnis leeren behält die Eingaben.

Modell

Alle Größen sind dimensionslos auf 0 ≤ x ≤ 1. Wärme folgt uₜ = κuₓₓ mit Randwert null oder isolierten Rändern. Bei Isolation bleibt der Feldmittelwert erhalten; Ränder auf null können Wärme abführen. Wellen folgen uₜₜ + 2γuₜ = c²uₓₓ mit festen Enden und Anfangsgeschwindigkeit null. γ ist eine Rate pro Modellzeiteinheit, kein Verlust pro Schritt. Alle Profile werden an die gewählten Ränder angepasst.

Numerik und Referenzen

Wärme nutzt explizite zentrale Ortsdifferenzen mit κΔt/Δx² ≤ ½. Wellen nutzen zentrale Zeit- und Ortsdifferenzen mit cΔt/Δx ≤ 1 und einen Anfangsschritt zweiter Ordnung. Automatische Schritte verwenden 90 % beziehungsweise 80 % dieser Grenzen. Eigene Schritte dürfen zwischen einem Achtel der Stabilitätsgrenze und der Grenze liegen. Weniger Gitterpunkte oder größere Schritte verringern den Rechenaufwand; Gitter- und Zeitverfeinerung prüfen den numerischen Fehler.

Bei festen Nullrändern und Anfangsprofil sin(πx) gilt für Wärme u = exp(−κπ²t)sin(πx), für die ungedämpfte Welle u = cos(cπt)sin(πx). Die Wellenenergie nähert ½∫(uₜ² + c²uₓ²)dx an. Kleine numerische Schwankungen sind zu erwarten; Dämpfung baut Energie ab. Es handelt sich nicht um thermische Energie.

Grafik lesen

Gestricheltes Anfangsprofil und eine nicht schrumpfende Amplitudenskala machen Abklingen sichtbar. Der Verlauf hält höchstens 160 Profile; die Achse zeigt Modellzeit. Die Wiedergabe strebt 0,05 Wärme- beziehungsweise 0,5 Wellenzeiteinheiten je Sekunde an und kann unter Last langsamer laufen. Scharfe Profile enthalten unaufgelöste Frequenzen; Stabilität allein garantiert keine Genauigkeit.

Quellen: Langtangen & Linge: Diffusion; Wellenränder und Dämpfung.

PNG pausiert und erfasst das aktuelle Profil und den vorhandenen Verlauf. Ein einzelner Anfangszustand bildet kein Zeitintervall; nach Schritten wird der aktuelle Zustand mit angezeigt.

Beim Sinusprofil mit Nullrändern erlauben die gepunktete analytische Kurve und der maximale absolute Fehler den Vergleich von Gitter- und Zeitauflösung. Wärme folgt dem oben genannten exponentiellen Abklingen; bei Wellen wird auch die exakte gedämpfte Sinusmode einschließlich kritischer und überkritischer Dämpfung verglichen. Andere Profile und isolierte Wärmeränder besitzen hier keine analytische Vergleichskurve.

Neuladen und JSON erhalten sämtliche rohen und inaktiven Eingaben, offene Bereiche und den exakten pausierten Rechenzustand. Aktuelle Felder erscheinen sofort. Der begrenzte Verlauf wird in kurzen, abbrechbaren Abschnitten ab seinem ältesten exakten Zustand wiederhergestellt; die Prozentanzeige zeigt echten Fortschritt, die Wiedergabe wartet darauf. Ein langes Experiment wird nicht vom Anfang nachgerechnet. Laden startet keine Wiedergabe.

Maximale absolute Abweichung von der analytischen Lösung an den Gitterpunkten; keine garantierte Schranke zwischen den Punkten.

Nur Eingabewerte bleiben in diesem Browser erhalten. Berechnete Ergebnisse und Versuchsverläufe werden nicht gespeichert.