Fourier-Epizyklen

Form und Rekonstruktion vergleichen

Eine Form und 1–256 Terme einschließlich des konstanten DC-Terms wählen, dann berechnen. Mit der Fortschrittsprobe den Originalpunkt und die Spitze der Fourier-Vektorsumme vergleichen. Die offene Markierung zeigt das Original, die gefüllte die Rekonstruktion. Ihre Verbindung zeigt den Punktfehler. Koordinaten und Fehler sind dimensionslos.

Abtastung und Fourier-Terme

Jede Form wird an 256 gleichmäßig über die Pfadlänge verteilten Stellen abgetastet, ohne den Schlusspunkt doppelt zu zählen. Polygonproben liegen auf den exakten geraden Kanten. Das Herz wird zunächst durch eine geschlossene Polyline mit 2048 Stützpunkten angenähert und entlang dieser Linie abgetastet; seine analytische Bogenlänge wird nicht berechnet. Beide Kreise haben Radius 0,6, Mittelpunkt (0,15; −0,1) und beginnen am rechten Rand.

Mit zₙ = xₙ + i yₙ lauten die Koeffizienten cₖ = (1/N) Σₙ zₙ exp(−2πikn/N). Beim Fortschritt u ergibt sich die Rekonstruktion als Σₖ cₖ exp(2πiku). DC steht zuerst und wird als konstanter Versatzvektor ohne rotierenden Kreis gezeichnet. Die übrigen Terme werden nach absteigendem Koeffizientenbetrag gewählt, bei Gleichheit nach k. Die Frequenzen reichen von −128 bis 127; der Nyquist-Term kommt nur einmal vor. Das dominante k gehört zum ersten gewählten Nicht-DC-Term; bei alleiniger DC-Auswahl gibt es keines.

Zwei unterschiedliche Fehler

RMS und maximaler Samplefehler vergleichen Rekonstruktion und Original an denselben 256 Abtaststellen. Zusätzliche Terme können den mittleren quadratischen Samplefehler nicht erhöhen. Mit allen 256 Termen werden diese Samples bis auf Gleitkommarundung rekonstruiert. Zwischen den Samples kann die Fourier-Interpolation auch dann von der Originalform abweichen. Der Punktfehler unter der Grafik vergleicht beide Positionen bei genau dem eingegebenen Fortschritt. Die Betragsauswahl ist keine Auswahl der niedrigsten Frequenzen und garantiert keinen kleinsten Fehler zwischen den Samples.

Beim Kreis gegen den Uhrzeigersinn ergeben zwei Terme DC = (0,15; −0,1) und k = 1. Bei 25% liegt die Spitze bei (0,15; 0,5); im Uhrzeigersinn bei (0,15; −0,7) mit k = −1. Mit alleiniger DC-Auswahl bleibt ein Sample-RMS-Fehler von 0,6.

Wiedergabe

Ein Umlauf dauert acht Sekunden. Das ist eine Anzeigegeschwindigkeit, keine physikalische Periode oder Frequenz. Die Fortschritte 0% und 100% ergeben dieselbe Position. Fokus oder Eingabe in einer Probensteuerung pausiert die Wiedergabe. Eine verdeckte Ansicht friert die Phase ein und setzt nur eine zuvor laufende Wiedergabe fort; nach Navigation bleibt das erhaltene Ergebnis pausiert. Neuladen oder Sprachwechsel stellt gültige Einstellungen wieder her und wartet auf Berechnen.

Quelle

NumPy: Konventionen und Normierung der diskreten Fourier-Transformation. Die Vorwärtstransformation verwendet hier die Normierung 1/N.