Komplexe Abbildung

Wähle ein Beispiel oder bearbeite die Abbildung und dann Darstellen. Die linke Ebene zeigt z, die rechte w = f(z). Tippe innerhalb der Urbildachsen auf einen Punkt oder ändere Re(z) und Im(z), um beide Markierungen und ihre Zahlenwerte zu aktualisieren. Änderungen an Abbildung, Koeffizienten, Gitterdichte oder Bildausschnitt entwerten das bisherige Ergebnis bis zum erneuten Darstellen. Zurücksetzen behält die Eingaben.

Das Urbild ist auf −2,5 ≤ Re(z), Im(z) ≤ 2,5 festgelegt. Jede Richtung hat 4–32 Gitterintervalle. Bild ± bezeichnet die Halbausdehnung des Bildausschnitts von 0,1 bis 100. Jede Ebene hat innerhalb ihrer Achsen gleiche horizontale und vertikale Maßstäbe; die Ausschnitte der beiden Ebenen dürfen verschieden sein. Orange gestrichelte Kurven gehören zu konstantem Im(z), blaue durchgezogene zu konstantem Re(z). Ein Bildpunkt außerhalb des Ausschnitts bleibt als Zahl erhalten und wird nicht durch einen Randpunkt ersetzt.

Zur Wahl stehen f(z) = z² und f(z) = (az + b)/(cz + d) mit reellen Koeffizienten a, b, c, d von −5 bis 5. Für Möbius-Abbildungen muss ad − bc ≠ 0 gelten. Gemeinsames Skalieren aller vier Koeffizienten ändert die Abbildung nicht. Nach Normierung durch ihren größten Betrag werden Determinanten mit Betrag höchstens 64·ε·(|ad| + |bc|), mit der Maschinengenauigkeit ε, als numerisch schlecht bestimmbar abgelehnt. Dieses numerische Kriterium beweist keine exakte Entartung.

Bei einer Möbius-Abbildung liegt der Pol für c ≠ 0 bei −d/c, die Nullstelle für a ≠ 0 bei −b/a; andernfalls liegt die jeweilige Stelle bei ∞. Außerdem ist f(∞) = a/c für c ≠ 0 und sonst ∞. Der angezeigte, nächst darstellbare Polort wird exakt erkannt; keine Umgebung wird zu Unendlich umgedeutet. Ein Überlauf eines endlichen Werts wird getrennt gemeldet. Die Abbildung z² besitzt bei 0 eine Nullstelle und einen kritischen Punkt: Wegen f′(0) = 0 ist sie dort nicht konform. Außerhalb kritischer Punkte und Pole erhalten diese holomorphen Abbildungen orientierte Winkel lokal.

Riemannkugel. Für w = u + iv gilt hier S(w) = (2u, |w|² − 1, 2v)/(1 + |w|²). Damit sind S(0) = (0, −1, 0), S(1) = (1, 0, 0), S(i) = (0, 0, 1) und S(∞) = (0, 1, 0). Die Höhenachse ist y. Der Blickwinkel dreht um y, anschließend wirkt die Neigung um die waagerechte Bildschirmachse. Diese Einstellungen verändern nur die orthografische Ansicht, nicht die Abbildung. Helle gestrichelte Kurven und eine hohle Punktmarkierung kennzeichnen die Rückseite. Unendlich ist ein Punkt auf dieser Kugel, kein endlicher Wert auf den Bildachsen.

Die Gitterdichte legt nicht die Kurvenauflösung fest. Die Ebenendarstellung trennt echte Pole und schneidet Bildkurven am Ausschnitt ab; sichtbare Stücke werden in Bildschirmkoordinaten verfeinert. Möbius-Bilder von Geraden sind Kreis- oder Geradenbögen, ihre Kugelbilder liegen auf Kreisen. Die Darstellung ist eine Näherung ohne behauptete globale Fehlergarantie. Das PNG enthält die aktive Ansicht samt Achsen, Beschriftung und Hintergrund. Animation und WebGL sind nicht erforderlich.

Gültige Parameter, Punkt und Ansichtseinstellungen können lokal gespeichert werden. Beim Zurückkehren innerhalb der App kann das berechnete Ergebnis erhalten bleiben. Ein Neuladen der Seite stellt die Einstellungen wieder her und wartet auf Darstellen.

Quellen: Jeremy Orloff, MIT 18.04, Topic 10, S. 3–8, zu konformen und Möbius-Abbildungen; David W. Lyons, Stereographic projection, insbesondere Exercise 2. Für die hier verwendete Höhenachse sind gegenüber dieser Quelle y und z vertauscht.