Polynômes orthogonaux

Polynômes orthogonaux

Explorer Legendre Pₙ, Chebyshev de première espèce Tₙ et Hermite des physiciens Hₙ jusqu’au degré32. Les racines sont rouges : cliquer dessus ou les choisir dans la liste. Cliquer ou glisser pour évaluer un point libre.

Hermite affiche d’abord ψₙ(x)=Hₙ(x)exp(−x²/2)/√hₙ. Cette fonction normalisée distincte révèle les oscillations masquées par les grandes valeurs du polynôme. La vue polynomiale reste disponible avec une échelle explicite.

Les poids sont1, (1−x²)^(−1/2) et exp(−x²). Normes au carré :2/(2n+1), π pour n=0 ou π/2 pour n>0, et √π·2ⁿ·n!. Hermite utilise H₀=1,H₁=2x.

Les produits pondérés normalisés utilisent la règle de Gauss adaptée avec max(n,m)+1 points. Hermite couvre tout le domaine réel pondéré, contrairement au tracé fini. Ces produits polynomiaux sont intégrés exactement en arithmétique exacte, mais les calculs flottants gardent des résidus. Le produit propre tend vers1 et le produit mixte vers0, sauf n=m. Tracé et racines restent des illustrations de précision finie.

La famille, le degré et la vue se mettent à jour directement ; les nombres après une courte pause. Activez la comparaison pour afficher le degré m sur les mêmes axes. Les deux courbes partagent une échelle ; la comparaison Hermite est limitée à l’intervalle de n. Les racines et le point appartiennent à n. L’orthogonalité désigne une intégrale pondérée, pas une absence de croisements.

La session conserve les champs inachevés, les sections ouvertes et les résultats dans ce navigateur. Un résultat chargé reconstruit le tracé polynomial borné à faible coût ; les brouillons restent inachevés.

Seules les valeurs saisies sont conservées dans ce navigateur. Les résultats calculés et historiques ne sont pas enregistrés.