Harmoniques sphériques

Fonctions angulaires sur S², avec degré entier 0≤ℓ≤20 et |m|≤ℓ. θ part de +z ; φ va de +x vers +y. Y complexe suit la convention orthonormale de Condon–Shortley. Re Y et Im Y ont une norme au carré 1/2 pour m≠0 ; pour m=0, elle vaut 1 et 0.

Base réelle : Tℓ0=Yℓ0 ; Tℓm=√2(−1)^m Re Yℓm pour m>0 ; Tℓm=√2(−1)^|m| Im Yℓ|m| pour m<0. Les ordres positifs sont des modes cosinus, les négatifs des sinus. Chaque T a une norme au carré 1.

La couleur représente S. Échelle signée [−Bℓ,Bℓ], Bℓ=√((2ℓ+1)/(4π)); module [0,Bℓ]. Cette borne vient du théorème d’addition, pas d’un maximum échantillonné. L’amplitude utilise r=|S|/Bℓ sans rayon de base : les nœuds rejoignent l’origine. La sphère conserve r=1. Il s’agit de diagrammes angulaires, pas d’orbitales de densité électronique ni de distances physiques.

Glissez pour tourner ; la molette seule défile, Ctrl/Meta+molette zoome. Rotation automatique facultative, suspendue lorsque l’outil est masqué. Les angles déplacent la sonde blanche sans reconstruire le maillage ; valeurs exactes dans les détails. La norme affichée est analytique. Le maillage triangulaire est une approximation, surtout à grand ℓ. Les modifications invalident la surface et les rendus répétés libèrent les ressources GPU. Le PNG contient paramètres et vue actuelle.

NIST DLMF 14.30 : normalisation, symétrie et théorème d’addition.

Les exemples choisissent degré et ordre dans la base réelle. Composante, surface et palette actualisent immédiatement la vue ; les degrés et ordres valides après une courte pause ou Entrée. Ajuster la vue centre et dimensionne la surface. Sa définition figure dans l’infobulle de la légende. Le JSON conserve brouillons, direction, options, caméra et panneaux ouverts. Une surface terminée est reconstruite à partir de ses paramètres exacts par le calcul borné du maillage, sans capture d’écran. Une session nouvelle ou inachevée ne génère pas de surface.

Seules les valeurs saisies sont conservées dans ce navigateur. Les résultats calculés et historiques ne sont pas enregistrés.