Bifurcation de Hopf

De la décroissance à l’oscillation durable

Choisir μ et x₀,y₀. Avant Démarrer, les vues montrent point initial et branches d’équilibre. Pause, Un pas (0,02 unité modèle) et PNG inspectent le mouvement. Changer μ conserve point, trajectoire et temps, même en pause. Changer x₀/y₀ ou Effacer la trace revient à la prévisualisation initiale. Curseur pratique, champ numérique pour valeurs fines et virgule décimale.

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Portrait x/y à échelles égales, conservées pendant la décroissance. Cercle orange : cycle stable au μ actuel, pas une trajectoire simulée. Diagramme : branches pleines stables, branche zéro en tirets instable pour μ>0. Bleu : amplitude transitoire réelle, non tronquée à √2. Historique : échantillons récents et cibles des μ passés ; les changements ne réinterprètent pas le passé.

Modèle

Forme normale supercritique : ẋ=μx−y−x(x²+y²), ẏ=x+μy−y(x²+y²). Forme polaire : ṙ=μr−r³, θ̇=1. μ<0 : foyer stable ; μ=0 : origine faiblement stable non hyperbolique et décroissance algébrique r=r₀/√(1+2r₀²t). μ>0 : origine instable, cycle stable r*=√μ. Un départ exactement nul reste nul ; un petit départ non nul n’est pas cet équilibre. À μ≠0 constant, 1/r²=exp(−2μt)/r₀²+(1−exp(−2μt))/μ, θ=θ₀+t.

Solution fermée entre changements de μ, avec logarithmes et expm1 pour petits rayons et μ proche de zéro. Temps sans dimension, période 2π ; ni oscillateur mesuré ni solveur général de bifurcations. Échantillonnage fixe 0,02, cible une unité modèle/s, parfois ralentie sous charge ; suspension des outils cachés. Derniers 1200 échantillons. PNG fige la vue ; μ actuel distinct des cibles historiques. L’affichage peut sous-déborder avant le logarithme conservé.

Andronov–Hopf bifurcation (Scholarpedia)

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Une saisie invalide suspend la lecture et conserve la dernière expérience valide. Les imports sont limités et vérifiés ; un échec conserve l’expérience. Si le stockage échoue, utilisez Enregistrer JSON. La session garde au plus 1200 points de trajectoire et 1200 échantillons, pas toute la trajectoire écoulée.

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