Langues d’Arnold

La vue initiale utilise 0 ≤ K ≤ 1 : l’application est monotone et le nombre de rotation a une limite commune. Des K plus grands sont possibles avec les bornes visibles, pour explorer des taux finis pouvant dépendre de l’orbite initiale.

Le relevé de l’application du cercle sinusoïdale utilisé ici est F(x) = x + Ω + K/(2π) sin(2πx), avec un signe plus. L’article ci-dessous utilise un signe moins ; les deux conventions sont conjuguées par un décalage de phase d’un demi. L’affichage ramène la phase à un tour tout en accumulant l’enroulement entier, si bien que le sinus est évalué à de petits arguments. Le taux d’enroulement lui-même n’est pas réduit modulo un.

Après avoir écarté le transitoire choisi, le calcul mesure ρ = [F^burn+iter(x₀) − F^burn(x₀)] / iter. Pour K ≤ 1, l’erreur théorique due au nombre fini d’itérations est inférieure à 1/iter, hors arrondi en virgule flottante. Pour K > 1, la valeur affichée décrit cette orbite initiale sur le temps fini choisi ; elle peut dépendre de x₀. Un nombre de rotation unique ou un accrochage n’est pas garanti.

Voir Alsedà et Borros-Cullell (2020), Definition 2.2, Proposition 2.3, Algorithm 1/Lemma 2.8 et Definition 4.6/section 4.2. La fraction réduite la plus proche utilise des dénominateurs jusqu’à huit et, en cas d’égalité, préfère le plus petit dénominateur. Son écart absolu est une proximité numérique, pas une preuve de synchronisation. Les guides de coupe en tirets à 0, 1/3, 1/2, 2/3 et 1 fournissent des références lorsqu’ils sont visibles.

La grille inclut les deux extrémités des paramètres. K croît vers le haut ; Ω croît vers la droite. Les couleurs utilisent le minimum et le maximum finis réels sur la grille calculée, donc les couleurs de cartes différentes ne représentent pas forcément le même taux. Cliquer sur la carte ou utiliser Sonder sélectionne le point de grille mis en cache le plus proche. La coupe lit la ligne K choisie sans recalculer la carte. Des plateaux étroits peuvent tomber entre les points de grille ; une mesure plus longue et des grilles plus fines peuvent changer le détail visible.

Rendu démarre un calcul en arrière-plan. Annuler ou toute modification des réglages de carte l’interrompt et retire l’ancienne sortie. Le PNG contient la carte thermique actuelle complète, les axes, l’échelle de couleurs et la sélection, à la taille d’affichage et au thème courants.