Chaos hamiltonien
Comparer Hénon–Heiles, l’application standard et la rotation régulière du tore par états initiaux, trajectoires et maillages déformés.
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Comparer mouvements réguliers et irréguliers
Choisir modèle et état initial, puis démarrer. Pause, Un pas et PNG inspectent un état figé ; modifier une valeur efface le résultat. Le départ proche décale x (θ₁ sur le tore) de ε. Cela peut changer l’énergie de Hénon–Heiles : ce n’est pas une mesure de Lyapunov à énergie identique. Comparer E₀ faible et élevé avec λ=1, ou K=0 et K=5. Une trajectoire finie ne prouve pas le chaos.
Modèles
Hénon–Heiles : H=(pₓ²+pᵧ²+x²+y²)/2+λ(x²y−y³/3). Au départ x=0,pᵧ=0 et pₓ positif découle de E₀,y₀. Verlet utilise un Δt réglable (défaut 0,02) ; la dérive d’énergie est numérique, pas une dissipation. Réduire le pas dans Lecture et grille pour étudier la convergence. À λ=1, les canaux d’évasion s’ouvrent à E=1/6 ; le couplage change ce seuil. Une trajectoire perturbée peut aussi s’échapper.
Application standard sur le cylindre : p′=p+K sin(x), x′=(x+p′) mod2π, impulsion non repliée. Tore : θ₁′=(θ₁+α) mod1, θ₂′=(θ₂+β) mod1. Rotation régulière et distance par l’arc le plus court constante. Les applications discrètes sont des points, sans fausse ligne continue.
Grille et lecture
Sommets partagés et arêtes droites échantillonnées ; angles déroulés dans la grille. Application standard et translation ont déterminant1. Les polygones finis à arêtes droites ne mesurent pas l’aire exacte après déformation non linéaire. Hénon–Heiles est un flot symplectique 4D : la projection (x,pₓ) ne conserve pas nécessairement l’aire. Aucune prétendue mesure de Liouville.
Cible une unité de temps modèle/s ou 20 itérations/s, multipliée par la vitesse. Pas fixes avec reste fractionnaire ; sous charge, lecture parfois plus lente. Un pas effectue exactement un pas ou une itération. Trace limitée, aucun calcul avant démarrage ; outils cachés suspendus. PNG met en pause et capture vue et paramètres. 3D Hénon–Heiles avec WebGL ; glisser pour tourner, Ctrl/Meta-molette pour zoomer.