Simulateur de billard

La table est visible avant la première collision. Sa flèche indique la direction initiale sans avancer le modèle. Démarrer et Pause partagent un bouton. Effacer conserve les entrées et revient à l’aperçu. La trajectoire affiche le point d’impact et les angles ; l’espace des phases affiche s et p. Les deux vues conservent le nombre de collisions et la distance. Les champs ou un clic dans la table choisissent un nouveau départ.

Une particule ponctuelle idéale se déplace en ligne droite et se réfléchit élastiquement sur le bord. Il n’y a ni forces, ni frottement, ni rayon de boule fini, ni obstacles. Les unités de coordonnées sont arbitraires ; le modèle utilise une vitesse unitaire. La lecture se mesure en collisions par seconde d’affichage, pas en temps de vol physique. Les géométries peuvent se comporter différemment ; ce n’est pas une affirmation que toute orbite ou table est chaotique.

Départ et commandes. Le départ doit être strictement à l’intérieur de la table choisie. Un départ sur le bord ou à l’extérieur est rejeté, jamais déplacé en silence. Les départs à moins de 128 epsilons machine (environ 2,84×10⁻¹⁴ unités de coordonnées) du bord sont aussi rejetés comme numériquement ambigus. L’angle initial se mesure dans le sens antihoraire depuis +x en tours : 0 est à droite, 0,25 en haut, 0,5 à gauche, et 1 égale 0. Démarrer lance ou reprend ; Une collision met en pause et avance jusqu’à exactement un nouvel impact de bord. Effacer efface les résultats et conserve les entrées. Un appui dans la trajectoire fixe de nouvelles coordonnées d’entrée et arrête l’ancienne course ; il ne simule pas. Les champs numériques sont l’alternative clavier.

Un changement de domaine, de départ ou de direction efface la trajectoire. Vue, grille, palette et un changement valide de cadence de lecture conservent le modèle et l’historique. Les outils et onglets de navigateur masqués mettent en pause. Les longues pauses d’affichage contribuent au plus 0,25 s à une mise à jour de lecture. La course s’arrête après 10 000 collisions ; au plus 10 000 sommets de trajectoire et 10 000 points de phase réguliers sont conservés. PNG enregistre la vue canevas active étiquetée.

Tables fixes. Rectangle : demi-largeur 0,48, demi-hauteur 0,34. Cercle : rayon 0,44. Ellipse : demi-axes 0,5 et 0,32. Stade : demi-longueur droite 0,28 et rayon de calotte 0,22. Triangle et 3–12-gones réguliers : circonrayon 0,42, premier sommet à l’angle π/2. Les deux axes de trajectoire ont la même échelle ; y pointe vers le haut.

Réflexion. Pour une normale unitaire sortante n, v_out = v_in − 2(v_in·n)n. L’angle incident à la normale sortante égale l’angle sortant à la normale rentrante ; les deux sont indiqués comme angles non négatifs. La flèche i se termine à la collision, la flèche o y commence, et n en pointillés pointe vers l’extérieur. Les longueurs de flèches sont illustratives. Le modèle passe le point de bord calculé au rayon suivant sans déplacement rentrant artificiel.

Un coin de polygone, y compris un coin de rectangle, n’a pas de normale unique ni de continuation définie dans ce modèle. De tels impacts s’arrêtent sans vitesse sortante ni p. Les jonctions du stade sont continues en tangente et ne sont pas des coins de polygone. Les tangences et collisions trop proches pour être distinguées en arithmétique flottante s’arrêtent aussi explicitement. Les intersections de rayons utilisent des racines quadratiques stables ; les décisions de coin et de distance quasi nulle ont une précision finie.

Espace des phases signé. s est la longueur d’arc antihoraire divisée par le périmètre, dans [0,1). Avec la tangente unitaire antihoraire t = (−n_y,n_x), p = v_out·t / |v_out| est dans [−1,1]. Son signe distingue les deux directions tangentielles ; p = 0 est une incidence normale. L’origine est le point le plus à droite pour le cercle et l’ellipse, le premier sommet pour les polygones, le coin bas-gauche pour le rectangle, et (−a,−r) pour le stade. L’ordre du stade est bord bas, calotte droite, bord haut, calotte gauche. Les longueurs d’arc d’ellipse utilisent une quadrature de Simpson à 2048 panneaux en cache avec une évaluation de panneau partiel et sont des approximations numériques. Les autres périmètres et morceaux d’arc utilisent leurs longueurs analytiques.

Sources : MIT, Paul Seidel : 18.900 Lecture 6 (loi de réflexion et continuation de coin indéfinie) ; DynamicalBilliards.jl : espaces des phases (longueur d’arc de bord et angle sortant signé).