Geodesic Dome

Inspecter un maillage géométrique

Choisissez un maillage géodésique ou le schéma C60 régulier, puis lancez le rendu. La fréquence géodésique f est un entier de 1 à 5, et le rayon R va de 0,1 à 100. Choisissez une unité de longueur commune : rayon, coordonnées et longueurs de corde l’utilisent ; l’aire des faces utilise son carré. C60 ignore la fréquence et l’étendue.

L’indice d’arête exact et le curseur natif sélectionnent une arête réelle. Ses identifiants d’extrémités, coordonnées, longueur, classe et statut de bord sont affichés ensemble. Les numéros de classe commencent à 1. Le sélecteur de classe séparé met des arêtes en évidence sans changer l’arête sélectionnée. Quatre vues orthographiques ne changent que le dessin, pas le maillage ni les mesures.

Subdivision en fréquence de l’icosaèdre

L’icosaèdre de départ utilise les permutations cycliques normalisées de (0, ±1, ±φ), avec φ = (1 + √5)/2. Chacune de ses 20 faces triangulaires est divisée barycentriquement en f² triangles. Leurs sommets sont ensuite projetés radialement sur la sphère de rayon R. Les sommets coïncidents sont fusionnés avec une clé de coordonnées à 10⁻¹² sur le modèle unitaire.

Le maillage complet a V = 10f² + 2 sommets, E = 30f² arêtes et F = 20f² faces, donc V − E + F = 2. À f = 1, toutes les arêtes ont pour longueur R√(2 − 2/√5). Les arêtes sont des cordes droites entre sommets, pas des arcs sur la sphère.

Demi-dôme ouvert

Le demi-dôme supérieur coupe les triangles plats existants à z = 0 et conserve leurs parties supérieures. Les nouveaux points d’intersection restent sur les arêtes droites d’origine ; ils ne sont pas projetés à nouveau sur la sphère. Ils peuvent donc se trouver à l’intérieur de la sphère, tandis que les sommets projetés d’origine restent sur le rayon R. L’orientation fixe place l’axe z par deux milieux d’arêtes opposés de l’icosaèdre de départ.

La coupe crée un bord polygonal ouvert avec V − E + F = 1. Aucun plancher n’est ajouté. Les polygones coupés sont comptés selon leurs bords réels ; aucune diagonale n’est ajoutée comme arête structurelle. Les arêtes de bord en pointillés n’appartiennent qu’à une face ; les arêtes intérieures appartiennent à deux.

Schéma C60 régulier

Pour chaque arête d’origine orientée a→b, le point (2a + b)/3 est construit et une normalisation commune place tous les sommets sur le rayon R. Chaque sommet d’origine donne un pentagone, et chaque triangle d’origine un hexagone. L’icosaèdre tronqué régulier a 60 sommets, 90 arêtes et 32 faces : 12 pentagones et 20 hexagones. Chaque sommet a le degré 3 et V − E + F = 2. Toutes les arêtes ont pour longueur 4R/√(58 + 18√5).

C’est un schéma géométrique régulier. Le C60 réel a des longueurs de liaison inégales ; ce ne sont pas des dimensions moléculaires ni des prédictions de liaisons.

Longueurs, aires et dessin

Les arêtes uniques sont collectées uniquement à partir des bords polygonaux cycliques. Les classes de longueur sont ordonnées de la plus courte à la plus longue avec une tolérance de 10⁻⁹ sur le modèle unitaire. Chaque classe indique une longueur d’arête réelle représentative, son effectif et le nombre sur le bord ouvert. La longueur totale compte chaque arête une fois. L’aire est la somme des aires des polygones plats, calculée avec des éventails de triangles internes ; ce n’est pas une aire sphérique, et ces diagonales de calcul ne sont ajoutées ni au dessin ni au nombre d’arêtes.

La vue est transparente : les arêtes arrière restent visibles, et les croisements n’indiquent pas d’occlusion. Les pentagones et hexagones C60 ont des remplissages clairs distincts. La classe sélectionnée est colorée ; l’arête exactement sélectionnée est plus épaisse et a une extrémité a pleine et une extrémité b en contour. Une sonde invalide masque l’arête sélectionnée et les valeurs d’extrémités tout en conservant le maillage et le tableau des classes.

Après le premier rendu, les modifications valides actualisent automatiquement le maillage. Faites glisser avec la souris pour tourner librement ; Ctrl/Méta+molette zoome au centre, la molette seule fait défiler. Les quatre vues nommées sont des préréglages. Réinitialiser recadre la vue oblique, toutes les classes et l’arête 0 sans recalculer le maillage. Cliquer ou toucher près d’une arête la sélectionne et ouvre Mesures ; l’index et le curseur permettent aussi de sélectionner les arêtes superposées.

Mesures contient les nombres, longueurs, aires, coordonnées et classes. SVG exporte le dessin actuel avec couleurs et paramètres. Seules les saisies principales brutes sont conservées, y compris les brouillons de fréquence inactifs invalides ; sans maillage calculé, vue, classe, sélection ni panneaux ouverts. Naviguer ou recharger attend Rendu. Ce modèle géométrique ne fournit ni analyse structurelle, ni conception d’assemblages, ni surcotes de matériau.

Source

Friedrich Hirzebruch: Regular Polyhedra and the Football, en particulier l’icosaèdre tronqué, les différences de liaisons du C60 réel et les comptes de triangulation. La projection radiale, la coupe plane et le groupement des longueurs utilisés ici sont les conventions géométriques décrites ci-dessus.