Inégalité de Bell–CHSH

Cette démonstration échantillonne les corrélations prévues d’un singulet de spin ½, chaque spin mesuré étant normalisé à un résultat +1 ou −1. Pour des réglages séparés de Δ, le modèle utilise E = −cos Δ. C’est la convention d’angle du singulet de spin, pas la convention d’angle double de la polarisation photonique. Les paires de réglages sont (a,b), (a,b′), (a′,b) et (a′,b′), et S = E(a,b) + E(a,b′) + E(a′,b) − E(a′,b′).

Les modèles locaux à variables cachées avec préparation indépendante des réglages obéissent à |S| ≤ 2. Les valeurs d’attente quantiques obéissent à |S| ≤ 2√2. Ce sont des bornes sur des espérances. Un échantillon fini peut dépasser 2√2 ; son étendue algébrique va de −4 à +4. Une valeur brute au-delà de ±2 n’est pas à elle seule une preuve expérimentale contre un modèle classique.

Le programme tire des issues conjointes (++,+−,−+,−−) avec les probabilités ((1+E)/4, (1−E)/4, (1−E)/4, (1+E)/4). Chaque partie a des probabilités marginales égales. Le total N prédéterminé est réparti cycliquement sur les quatre paires, de sorte que leurs effectifs diffèrent d’au plus un. Tous les comptages sont affichés. La graine pilote Mulberry32 pour des démonstrations reproductibles. Pause et taille de trame ne changent pas la suite. Cette simulation pseudo-aléatoire n’est ni une expérience physique indépendante ni un test du modèle quantique supposé.

Uniquement au point final fixe, l’intervalle de Hoeffding conservateur bilatéral est [Ŝ−r, Ŝ+r], ramené à [−4,4], avec r = √(2 ln(40) Σₖ 1/nₖ). Sous tirages indépendants, il couvre l’espérance CHSH sous-jacente dans au moins 95 % des échantillons répétés de taille fixe. La garantie ne s’applique pas à un arrêt précoce arbitraire ni à la recherche répétée de graines pour un résultat voulu. Un intervalle entièrement hors de [−2,2] est rapporté comme propriété de cet échantillon simulé, pas comme confirmation expérimentale.

La théorie se met à jour immédiatement avec des entrées valides. Démarrer lance explicitement un échantillon fini, ou répète le même après la fin ; après une pause, la même suite aléatoire continue. Les exemples ne changent que les angles et conservent N et la graine. Toute modification efface l’échantillon précédent. Réinitialiser restaure toutes les valeurs initiales et la théorie. Une page masquée ou la navigation suspend les tirages. Seuls les textes exacts sont conservés, même incomplets, invalides ou avec virgule ; les anciennes valeurs numériques sont reprises. Échantillons, effectifs, intervalles et progression ne sont jamais enregistrés. Le rechargement affiche la théorie ; l’intervalle attend les N paires fixées à l’avance. Déplier les données pour les effectifs/corrélations exacts ; Options contient N et la graine.

Sources : Cambridge, Principles of Quantum Mechanics, §10.6.2 et Carnegie Mellon, concentration inequalities and Hoeffding’s inequality.