Bifurcación de Hopf

Del decaimiento a la oscilación sostenida

Elige μ y x₀,y₀. Antes de Iniciar se muestran punto inicial y ramas de equilibrio. Pausa, Un paso (0,02 unidad del modelo) y PNG inspeccionan el movimiento. Cambiar μ conserva punto, trayectoria y tiempo, también en pausa. Cambiar x₀/y₀ o Borrar trayectoria vuelve a la vista inicial. Deslizador cómodo, campo numérico para valores finos y coma decimal.

Leer las vistas

Retrato x/y con escalas iguales y constantes durante el decaimiento. Círculo naranja: ciclo estable para μ actual, no órbita simulada. Diagrama: ramas continuas estables, rama cero discontinua inestable con μ>0. Azul: amplitud transitoria real, sin recorte a √2. Historial: muestras recientes y objetivos de μ anteriores, sin reinterpretar el pasado.

Modelo

Forma normal supercrítica: ẋ=μx−y−x(x²+y²), ẏ=x+μy−y(x²+y²). Polar: ṙ=μr−r³, θ̇=1. μ<0: foco estable; μ=0: origen débilmente estable no hiperbólico y decaimiento algebraico r=r₀/√(1+2r₀²t). μ>0: origen inestable, ciclo estable r*=√μ. Un inicio exactamente cero sigue cero; uno pequeño pero no nulo no es ese equilibrio. Con μ≠0 constante, 1/r²=exp(−2μt)/r₀²+(1−exp(−2μt))/μ, θ=θ₀+t.

Solución cerrada entre cambios de μ, con logaritmos y expm1 para radios pequeños y μ cerca de cero. Tiempo adimensional, período 2π; no es un oscilador medido ni un solver general. Muestreo fijo 0,02, objetivo una unidad del modelo/s; puede ralentizarse bajo carga y se suspende al ocultarse. Últimas 1200 muestras. PNG pausa la vista; μ actual difiere de objetivos históricos. La visualización puede caer fuera del rango antes que el logaritmo conservado.

Andronov–Hopf bifurcation (Scholarpedia)

Conservar un experimento

Al recargar o volver se restauran la trayectoria en pausa, las entradas originales y el historial reciente, con los objetivos de cambios anteriores de μ. Una entrada inválida pausa la reproducción y conserva el último experimento válido. Las importaciones tienen límites y se verifican; un error conserva el experimento. Las sesiones guardan hasta 1200 puntos de trayectoria y 1200 muestras, no toda la trayectoria transcurrida.

Solo se conservan los valores introducidos en este navegador. No se guardan los resultados calculados ni los historiales.