Geodesic Dome

Inspeccionar una malla geométrica

Elige una malla geodésica o el esquema C60 regular, luego renderiza. La frecuencia geodésica f es un entero de 1 a 5, y el radio R va de 0,1 a 100. Elige una unidad de longitud común: radio, coordenadas y longitudes de cuerda la usan; el área de las caras usa su cuadrado. C60 ignora la frecuencia y la extensión.

El índice de arista exacto y el deslizador nativo seleccionan una arista real. Sus ID de extremos, coordenadas, longitud, clase y estado de borde se muestran juntos. Los números de clase se muestran desde 1. El selector de clase aparte resalta aristas sin cambiar la arista seleccionada. Cuatro vistas ortográficas cambian solo el dibujo, no la malla ni las medidas.

Subdivisión en frecuencia del icosaedro

El icosaedro de partida usa permutaciones cíclicas normalizadas de (0, ±1, ±φ), con φ = (1 + √5)/2. Cada una de sus 20 caras triangulares se divide baricéntricamente en f² triángulos. Sus vértices se proyectan después radialmente sobre la esfera de radio R. Los vértices coincidentes se fusionan con una clave de coordenadas a 10⁻¹² en el modelo unitario.

La malla completa tiene V = 10f² + 2 vértices, E = 30f² aristas y F = 20f² caras, así que V − E + F = 2. En f = 1, todas las aristas tienen longitud R√(2 − 2/√5). Las aristas son cuerdas rectas entre vértices, no arcos sobre la esfera.

Semicúpula abierta

La semicúpula superior recorta los triángulos planos existentes en z = 0 y conserva sus partes superiores. Los nuevos puntos de intersección permanecen sobre las aristas rectas originales; no se proyectan de nuevo sobre la esfera. Por tanto pueden quedar dentro de la esfera, mientras que los vértices proyectados originales permanecen sobre el radio R. La orientación fija coloca el eje z por dos puntos medios de aristas opuestas del icosaedro de partida.

El corte crea un borde poligonal abierto con V − E + F = 1. No se añade suelo. Los polígonos recortados se cuentan por sus bordes reales; no se añaden diagonales como aristas estructurales. Las aristas de borde discontinuas pertenecen a una sola cara; las interiores pertenecen a dos.

Esquema C60 regular

Para cada arista original dirigida a→b se construye el punto (2a + b)/3 y una normalización común sitúa todos los vértices sobre el radio R. Cada vértice original da un pentágono, y cada triángulo original un hexágono. El icosaedro truncado regular tiene 60 vértices, 90 aristas y 32 caras: 12 pentágonos y 20 hexágonos. Cada vértice tiene grado 3 y V − E + F = 2. Todas las aristas tienen longitud 4R/√(58 + 18√5).

Es un esquema geométrico regular. El C60 real tiene longitudes de enlace desiguales; no son dimensiones moleculares ni predicciones de enlaces.

Longitudes, áreas y dibujo

Las aristas únicas se recogen solo de los bordes poligonales cíclicos. Las clases de longitud se ordenan de la más corta a la más larga con tolerancia 10⁻⁹ en el modelo unitario. Cada clase informa una longitud de arista real representativa, su cantidad y el número en el borde abierto. La longitud total cuenta cada arista una vez. El área es la suma de las áreas de los polígonos planos, calculada con abanicos de triángulos internos; no es un área esférica, y esas diagonales de cálculo no se añaden al dibujo ni al recuento de aristas.

La vista es transparente: las aristas traseras siguen visibles, y los cruces no indican oclusión. Los pentágonos y hexágonos C60 tienen rellenos claros distintos. La clase seleccionada está coloreada; la arista exactamente seleccionada es más gruesa y tiene un extremo a relleno y un extremo b en contorno. Una sonda no válida oculta la arista seleccionada y los valores de los extremos, y conserva la malla y la tabla de clases.

Tras el primer renderizado, los cambios válidos actualizan la malla automáticamente. Arrastra con el ratón para girar libremente; Ctrl/Meta+rueda amplía desde el centro y la rueda sola desplaza la página. Las cuatro vistas con nombre son preajustes. Restablecer encuadra la vista oblicua, todas las clases y la arista 0 sin recalcular la malla. Pulsar cerca de una arista la selecciona y abre Medidas; el índice y el deslizador permiten seleccionar aristas superpuestas.

Medidas contiene recuentos, longitudes, áreas, coordenadas y clases. SVG exporta el dibujo actual con colores y parámetros. Solo se conservan las entradas principales, incluidos borradores de frecuencia inactivos incorrectos; sin malla calculada, vista, clase, selección ni paneles abiertos. Navegar o recargar espera Renderizar. Es un modelo geométrico sin análisis estructural, diseño de uniones ni holguras de material.

Fuente

Friedrich Hirzebruch: Regular Polyhedra and the Football, en especial el icosaedro truncado, las diferencias de enlace del C60 real y los recuentos de triangulación. La proyección radial, el corte plano y el agrupamiento de longitudes usados aquí son las convenciones geométricas descritas arriba.