Billar elíptico

Inspeccionar un camino de billar finito

Elige la elipse, la dirección inicial y el número de reflexiones. Calcular muestra la trayectoria finita y selecciona la primera reflexión. Después, los cambios válidos actualizan el resultado automáticamente. El campo numérico y el deslizador seleccionan reflexiones. Reproducir avanza una reflexión calculada cada 0,7 segundos; Pausa mantiene la selección y Restablecer vuelve a la primera. Es la secuencia de reflexiones, no el tiempo físico de recorrido. La reproducción termina en la última reflexión, al editar y al ocultar la herramienta.

Medidas abre coordenadas, ángulos, distancias a los focos y longitudes. Las distancias a los focos corresponden al segmento saliente finito; las longitudes comparten la unidad de a y b. El rayo de color continuo entra y el discontinuo sale; n indica la normal exterior y t la tangente. SVG exporta el dibujo seleccionado con colores y parámetros. Solo se conservan los borradores de entrada, incluidas direcciones inactivas incorrectas; sin trayectorias calculadas, selección ni estado de reproducción. Recargar o navegar espera a Calcular.

Elipse y dirección de partida

El borde es x²/a² + y²/b² = 1, con a ≥ b. Los focos son F₁ = (−c,0) y F₂ = (c,0), donde c = √[(a − b)(a + b)]. Todas las coordenadas, distancias y semiejes usan una unidad de longitud de elección libre.

Una partida en el foco empieza exactamente en F₁. Su dirección α se mide antihoraria desde +x. Una partida en el borde empieza en (a cosφ, b sinφ). φ es el ángulo parámetro de la elipse; no es el ángulo polar del punto cuando a y b difieren.

En una partida en el borde, sea n la normal unitaria hacia fuera y t = (−n_y,n_x) la tangente unitaria orientada positivamente. La dirección de partida es u = −cosδ n + sinδ t. Así δ = 0 apunta según la normal hacia dentro; un δ positivo se inclina hacia la tangente positiva. El rango permitido −89°…89° excluye una partida exactamente tangente, que no tiene vuelo hacia dentro positivo.

Reflexión y la regla de los focos

Para una dirección unitaria incidente u, la reflexión especular ideal da u′ = u − 2(u·n)n. Los ángulos de incidencia y reflexión mostrados se miden respecto a la normal, no a la tangente. Los arcos usan la normal hacia dentro como referencia. Los dos ángulos son iguales. Las puntas de flecha indican las direcciones de viaje; la flecha de la normal apunta hacia fuera.

Un rayo desde un foco se refleja a través del otro. La familia de partida en el foco alterna por tanto entre F₂ y F₁ tras reflexiones sucesivas. Las distancias a los focos mostradas son las distancias mínimas de cada foco al segmento finito saliente real, incluidos sus extremos. No describen la distancia a una recta infinita ni a un marcador de animación en movimiento. Los residuos pequeños de punto flotante se muestran en lugar de redondearse indiscriminadamente a cero.

Para a = 1,5, b = 1 y una dirección de foco de 35°, el primer impacto es aproximadamente (0.2842390227, 0.9818821332). Ambos ángulos son aproximadamente 47.6686298954°, y el segmento saliente pasa por F₂. En el ejemplo del círculo-cuadrado, los impactos sucesivos son (0,1), (−1,0), (0,−1), (1,0). Cuando a = b los focos coinciden en el centro; el gráfico los etiqueta juntos. Un camino de diámetro de círculo tiene un ángulo de incidencia normal de 0°.

Recuento y alcance

Para k reflexiones seleccionadas, el camino contiene k + 1 segmentos de vuelo: un segmento incidente antes de la primera reflexión, más un segmento saliente después de cada reflexión. El último extremo se incluye para mostrar el vuelo saliente final y no se refleja de nuevo. La longitud total del camino incluye los k + 1 segmentos; la longitud hasta este impacto se detiene en la colisión seleccionada.

Los límites de entrada son a y b de 0,2 a 5, b ≤ a, dirección global y ángulo parámetro de borde de −180° a 180°, inclinación de −89° a 89°, y 1…24 reflexiones. Son límites de producto, no del fenómeno de reflexión. Es geometría ideal de partícula puntual con vuelos libres rectos y reflexiones especulares en el borde, sin modelo de fricción ni deformación.

Fuente

Herman Serras, Ghent University: Billiards — geometría de reflexión, bisectrices de normal y tangente, la regla de los focos y el caso circular.