Péndulos acoplados

Explora modos normales e intercambio de energía entre dos o tres péndulos en un modelo de ángulos pequeños.

Acerca de esta herramienta

Compara modos normales e intercambio de energía en una cadena de dos o tres péndulos idénticos. Elige un modo puro para ver una frecuencia, o desplaza solo el primer péndulo para excitar varios modos.

Modelo y entradas

Cada masa tiene m = 1 kg y longitud de cuerda L = 1,2 m. Los puntos de suspensión adyacentes están a 0,9 m, con aceleración gravitatoria g = 9,81 m/s². Los resortes conectan solo masas vecinas; los extremos de la cadena están libres, sin resortes de pared. La rigidez del resorte k es una constante de resorte física en N/m, de 0 a 5. La amplitud inicial va de 0 a 0,2 rad y la duración de 1 a 60 s.

Es un modelo no amortiguado, plano y de ángulo pequeño. La extensión del resorte se aproxima como L(θᵢ₊₁ − θᵢ), y la gravedad se linealiza en θ. No hay forzado, amortiguación, dinámica de ángulo grande ni movimiento fuera del plano. El diagrama muestra cada masa en (pivote + L sin θ, −L cos θ) de modo que cada cuerda tiene su longitud real L; este dibujo geométrico no cambia la dinámica linealizada.

Desplazamiento inicial

Todos los péndulos parten con velocidad angular nula. Solo el péndulo 1 desplaza la primera masa. Cada preajuste de modo elige una forma propia pura, con su mayor magnitud de ángulo inicial igual a la amplitud elegida. El modo 3 solo está disponible para tres péndulos. En k = 0 los péndulos son independientes; un péndulo inicialmente no excitado permanece exactamente en reposo. Amplitud nula deja toda la cadena en reposo.

Los valores por defecto son dos péndulos, la primera masa desplazada 0,15 rad, k = 0,8 N/m y una ventana de 30 s. Compara sus curvas de energía para ver el intercambio entre los péndulos. Un máximo en una envolvente de batido no establece por sí solo una transferencia de energía completa.

Uso

La vista del aparato, los valores actuales y los modos normales se actualizan inmediatamente. Desplaza solo el primer péndulo para observar el intercambio de energía o elige un modo puro. Reproducir inicia el reloj común en tiempo real; Pausa lo detiene. El campo y el deslizador de tiempo usan la misma solución analítica en todas las vistas. Las pestañas de desplazamiento y energía construyen las curvas completas solo al abrirlas; después el marcador se mueve sin reconstruirlas. Un tiempo no válido oculta marcadores y valores sin cambiar una curva preparada. Editar un parámetro detiene la reproducción y prepara otra vista en reposo. Reiniciar conserva los parámetros y vuelve a cero.

Abre Valores y modos para ver ángulos, velocidades angulares y frecuencias normales, y los componentes de energía para el balance. Solo se guardan los parámetros originales, el número de péndulos y la excitación, incluidas entradas incompletas o no válidas. Recargar o volver prepara el aparato en reposo, sin restaurar tiempo transcurrido, curvas, vista elegida, detalles abiertos ni un experimento calculado.

Modos normales

La ecuación lineal es θ̈ = −Aθ, con A = (g/L)I + (k/m)D, donde D es el laplaciano de cadena libre. Para dos péndulos sus autovalores son μ = 0, 2 y las formas son (1, 1), (1, −1). Para tres son μ = 0, 1, 3 y (1, 1, 1), (1, 0, −1), (1, −2, 1). La tabla de formas da amplitudes relativas; el cálculo usa vectores ortonormalizados eⱼ.

Cada frecuencia angular satisface Ωⱼ² = g/L + (k/m)μⱼ, con fⱼ = Ωⱼ/(2π) en Hz. La coordenada modal inicial es qⱼ(0) = eⱼ · θ(0), y θ(t) = Σeⱼqⱼ(0)cos(Ωⱼt). Las velocidades angulares son sus derivadas temporales analíticas. Los preajustes de modo puro ponen a cero los demás coeficientes de modo. Con acoplamiento nulo, todas las frecuencias de modo coinciden.

Energía

La energía cinética es T = ½mL²Σθ̇ᵢ², la potencial gravitatoria Ug = ½mgLΣθᵢ² y la de resorte Uk = ½kL²Σ(θᵢ₊₁ − θᵢ)². El total E = T + Ug + Uk se conserva en el modelo. El gráfico de energía muestra la energía asignada de cada péndulo y el total, todo en julios.

La energía asignada de un péndulo incluye su energía cinética y gravitatoria más la mitad de la energía de cada resorte adyacente. Esta división igual es una convención para mostrar el intercambio de energía local; sumar las energías asignadas da el total. Abre Componentes de energía para inspeccionar T, Ug, Uk y E en el tiempo actual.

Método numérico y fuentes

La solución se evalúa analíticamente usando los modos normales. Las muestras del gráfico tienen como máximo 0,04 rad de la fase del modo más rápido entre puntos adyacentes, con como máximo 7223 puntos. La sonda temporal se evalúa con independencia de esas muestras. Los valores mostrados se redondean, usando notación científica para resultados no nulos pequeños.