Paradoja del cumpleaños

El modelo asigna a cada persona un cumpleaños independiente en uno de 365 días igualmente probables. Un grupo es un acierto si al menos dos personas comparten algún día. No modela días bisiestos, tasas estacionales de nacimiento ni dependencia entre cumpleaños. Los índices de día 1–365 son categorías del modelo, no fechas de calendario.

Teoría: para 0 ≤ n ≤ 365, la probabilidad de ninguna coincidencia es q = ∏_j=0ⁿ⁻¹(1 − j/365); la probabilidad de coincidencia es p = 1 − q. Para n = 0 o 1, p = 0 exactamente. En n = 23, p ≈ 50,73 %. En n = 366, p = 1 por el principio del palomar. Para n = 365, q sigue siendo positivo incluso cuando la aritmética en punto flotante redondea p a 1. La visualización marca los valores 100 % redondeados con ≈ y conserva q en los detalles de teoría.

Monte Carlo: introduce 0–366 personas, 100–20 000 grupos y una semilla de 32 bits (0–4 294 967 295), luego Iniciar. La estimación muestral es el número de grupos con coincidencia dividido por el número completado. La semilla reproduce la misma secuencia; Pausa y Reanudar conservan su posición. Se extrae cada cumpleaños de un grupo, incluidos los posteriores a su primera coincidencia. La pestaña del último grupo muestra solo los días ocupados por dos o más personas, junto con el número total de personas y de días ocupados. Los ejemplos cambian el tamaño del grupo sin cambiar la semilla.

Incertidumbre: solo una ejecución terminada muestra el intervalo de puntuación de Wilson nominal 95 % a dos colas. Con M grupos, k aciertos, p̂ = k/M y z = 1.959963984540054, su centro es (p̂ + z²/(2M))/(1 + z²/M), y su semilongitud es z√(p̂(1−p̂)/M + z²/(4M²))/(1 + z²/M). Es un intervalo frecuentista aproximado, no una promesa de que cada ejecución contenga el valor teórico. Se calcula para el número de grupos elegido antes del muestreo, no como una banda de confianza simultánea al observar o pausar. En los casos deterministas del modelo n = 0, 1 y 366, el valor exacto conocido sustituye la incertidumbre de Wilson.

Lectura y controles: ○ marca la teoría, × la estimación muestral; la barra naranja final es el intervalo de Wilson. Una estimación muestral junto al valor teórico es variación aleatoria normal, no automáticamente un error. La incertidumbre describe un muestreo independiente ideal repetido; un flujo seudoaleatorio reproducible no prueba independencia estadística. Editar cualquier parámetro borra la ejecución, incluido un resultado terminado. Repetir usa la misma semilla y por tanto repite el resultado. Restablecer conserva las entradas, la navegación conserva entradas válidas y volver no arranca el muestreo.

Fuentes: MIT 6.041/6.431, Recitation 4 (2010), problem 1; NIST/SEMATECH e-Handbook §7.2.4.1, Wilson confidence interval.

La curva teórica se actualiza con entradas válidas; solo Iniciar genera grupos aleatorios. Los ejemplos y la semilla están en Ajustes. Solo se guardan los borradores de entrada, incluso incompletos, en el almacenamiento local del navegador. Navegar y restablecer descartan los resultados simulados; al volver se muestra la teoría sin reanudar los sorteos.