Aguja de Buffon

Este es el modelo de aguja corta de Buffon: una aguja recta de longitud L cae entre rectas paralelas separadas d, con 0 < L ≤ d. Ambas longitudes están en milímetros. La posición dentro de un periodo de recta y la dirección son uniformes. Escalar L y d juntos deja las probabilidades inalteradas. Las agujas más largas exigen otra fórmula y se rechazan.

Cada lanzamiento usa una fase de centro y ∈ [0,d) y un ángulo θ ∈ [0,π). Golpea cuando min(y,d−y) ≤ (L/2)|sin θ|. Tocar cualquiera de las dos rectas cuenta de forma simétrica, y cada aguja aporta como máximo un acierto. La probabilidad del modelo es p = 2L/(πd). Tras n lanzamientos y K aciertos, la tasa observada es K/n y la estimación es π̂ = 2(L/d)n/K. Sin aciertos no hay estimación finita de π; se muestra un guion en lugar de cero.

La semilla fija una secuencia reproducible. El generador de 32 bits usa s ← (1664525s + 1013904223) mod 2³² y u = (s + 0.5)/2³². Cada aguja consume exactamente dos valores, primero para y y luego para θ. Es un generador didáctico, no una fuente de aleatoriedad criptográfica. La visualización no consume valores aleatorios: la colocación horizontal depende del índice de lanzamiento y de la vista disponible, y la vertical cambia y solo en múltiplos enteros de d. El suelo muestra las últimas 200 agujas a escala x/y igual. Las agujas rojas, más gruesas, tocan una línea; las azules, más finas, no. La línea discontinua indica π. Los recuentos y el gráfico de convergencia lineal usan todos los lanzamientos, incluidas las estimaciones iniciales grandes.

Iniciar cambia a Pausa durante la reproducción; Reanudar continúa el mismo ensayo. Al terminar, Iniciar comienza otro con las mismas entradas. La animación muestra unos 250 lanzamientos por segundo; sin animación, Iniciar termina de inmediato el ensayo previsto. Los ajustes contienen la animación y la semilla reproducible. Una aguja avanza exactamente un lanzamiento. Las entradas redibujan automáticamente un experimento vacío sin muestreo. Reiniciar conserva las entradas y borra el ensayo. Las entradas originales, incluso números sin terminar, permanecen al navegar o recargar; las muestras y los historiales no. Ocultar pausa la reproducción y descarta el tiempo de visualización acumulado. Los gráficos utilizan el espacio disponible; el eje de convergencia sigue el número de lanzamientos ya observados. Se incluye todo el historial y los valores extremos iniciales.

Solo al recuento final previsto la herramienta muestra un intervalo de Wilson 95 % [pL,pU] para la tasa de aciertos, con z = 1.959963984540054. Con p̂ = K/n, su centro es (p̂ + z²/(2n))/(1 + z²/n) y su semianchura es z√(p̂(1−p̂)/n + z²/(4n²))/(1 + z²/n). El intervalo de π correspondiente es [2(L/d)/pU, 2(L/d)/pL]. Cuando pL = 0, el extremo superior no está acotado; es una cota de intervalo, no una estimación puntual disponible. Una cobertura nominal del 95 % no garantiza que cada ejecución con semilla contenga π, y no es un intervalo continuamente válido para decidir de forma repetida cuándo parar.

Fuentes: Treibergs, Integral Geometry, slides 20–21 deriva la probabilidad y el estimador de aguja corta; extender aquí su enunciado L < d a L = d se sigue por continuidad y posiciones de borde de probabilidad nula. NIST: Binomial Proportions describe el intervalo de Wilson. Su transformación monótona a un intervalo de π y el informarlo solo al final previsto son elecciones de esta herramienta.