Hopf-Bifurkation

Vom Abklingen zur dauerhaften Schwingung

μ und Anfangspunkt x₀,y₀ wählen. Vor Start zeigen die Grafiken Anfangspunkt und Gleichgewichtszweige. Start zeichnet die Bewegung; Pause, Ein Schritt (0,02 Modellzeiteinheiten) und PNG untersuchen sie. μ-Änderungen wirken am aktuellen Punkt, auch pausiert: Bahn und Zeit bleiben erhalten. Geändertes x₀/y₀ oder Bahn leeren kehren zur Anfangspunktvorschau zurück. Der Schieber ist bequem, das Zahlenfeld erlaubt feinere Werte und Dezimalkomma.

Drei Ansichten lesen

Das Phasenporträt hat gleiche x/y-Maßstäbe und behält die Skala beim Abklingen. Der orange Kreis ist der stabile Grenzzyklus beim aktuellen μ, keine simulierte Bahn. Im Bifurkationsdiagramm sind durchgezogene Zweige stabil, der gestrichelte Nullzweig für μ>0 instabil. Blau zeigt die tatsächliche Übergangsamplitude und wird nicht auf √2 abgeschnitten. Der Radiusverlauf behält aktuelle Stichproben und die Ziele der damaligen μ-Werte; Änderungen deuten die Vergangenheit nicht um.

Modell und geschlossene Lösung

Superkritische Normalform: ẋ=μx−y−x(x²+y²), ẏ=x+μy−y(x²+y²). Polar: ṙ=μr−r³, θ̇=1. μ<0 liefert einen stabilen Fokus; μ=0 einen schwach stabilen, nicht hyperbolischen Ursprung mit algebraischem Abklingen r=r₀/√(1+2r₀²t). Für μ>0 sind der Ursprung instabil und der Zyklus r*=√μ stabil. Ein exakter Nullstart bleibt null; ein kleiner Nichtnullstart ist nicht dieses Gleichgewicht. Für konstantes μ≠0 gilt 1/r²=exp(−2μt)/r₀²+(1−exp(−2μt))/μ, θ=θ₀+t.

Zwischen μ-Änderungen wertet der Browser diese Lösung aus; Logarithmen und expm1 bewahren sehr kleine Radien und Werte nahe μ=0. Dimensionslose Zeit mit Periode 2π: kein gemessener Oszillator und kein allgemeiner Bifurkationssolver. Feste 0,02-Stichproben vermeiden bildratenabhängige Spuren. Wiedergabe strebt eine Modellzeiteinheit/s an und kann unter Last langsamer sein; unsichtbare Tools halten an. Die letzten 1200 Stichproben bleiben. PNG pausiert und erfasst die Ansicht; aktuelles μ und historische Ziele sind verschieden. Die Anzeige kann vor dem gespeicherten Log-Radius unterlaufen.

Andronov–Hopf bifurcation (Scholarpedia)

Experiment behalten

Ungültige Eingaben pausieren die Wiedergabe und erhalten das letzte gültige Experiment. Importe werden auf Größe und Inhalt geprüft; ein fehlgeschlagener Import verändert das Experiment nicht. Sitzungen enthalten höchstens 1200 Bahnpunkte und 1200 Verlaufspunkte, nicht die gesamte vergangene Bahn.

Nur Eingabewerte bleiben in diesem Browser erhalten. Berechnete Ergebnisse und Versuchsverläufe werden nicht gespeichert.