Hamiltonian Chaos
Hénon–Heiles, Standardabbildung und reguläre Torusrotation über Anfangszustände, Bahnspuren und verformte Gitter vergleichen.
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Reguläre und unregelmäßige Bewegung vergleichen
Modell und Anfangszustand wählen, dann starten. Pause, Ein Schritt und PNG untersuchen einen festen Zustand; geänderte Zahlenwerte leeren ihn. Der nahe Start verschiebt x (θ₁ beim Torus) um ε. Dies kann auch die Hénon–Heiles-Energie ändern: kein Lyapunovmaß auf derselben Energiefläche. Niedriges und höheres E₀ bei λ=1 oder K=0 und K=5 vergleichen. Eine endliche Bahnspur beweist allein kein Chaos.
Gleichungen und Koordinaten
Hénon–Heiles: H=(pₓ²+pᵧ²+x²+y²)/2+λ(x²y−y³/3). Anfangs x=0,pᵧ=0; positives pₓ folgt aus E₀,y₀. Velocity-Verlet mit wählbarem Δt (Standard 0,02). Energiedrift ist numerisch, keine physikalische Reibung; für quantitative Konvergenzstudien den Zeitschritt unter Wiedergabe und Gitter verkleinern. Bei λ=1 öffnen sich Fluchtkanäle ab E=1/6; andere Kopplungen ändern diese Grenze. Auch die gestörte Bahn kann entweichen.
Standardabbildung auf dem Zylinder: p′=p+K sin(x), x′=(x+p′) mod2π; der Impuls wird nicht gewickelt. Torusrotation: θ₁′=(θ₁+α) mod1, θ₂′=(θ₂+β) mod1. Sie ist regulär und bewahrt den kurzen Winkelabstand. Abbildungen erscheinen als diskrete Punkte; verbundene Sprünge würden kontinuierliche Bewegung erfinden.
Gitter und Wiedergabe
Das Gitter nutzt gemeinsame Stichprobenpunkte und gerade Kanten. Winkel bleiben hier ungewickelt. Standardabbildung und Torusverschiebung haben Determinante 1; endliche Polygone mit geraden Kanten müssen nach nichtlinearer Verformung ihre Fläche nicht bewahren. Hénon–Heiles ist ein vierdimensionaler symplektischer Fluss; seine (x,pₓ)-Projektion muss keine Fläche erhalten. Deshalb wird keine gemessene Liouvillequote behauptet.
Wiedergabe strebt eine Modellzeiteinheit/s oder 20 Abbildungsiterationen/s an, multipliziert mit dem Tempo. Feste Schritte mit Restakkumulator verhindern bildratenabhängige Modellzeit. Unter Last kann die Animation langsamer laufen. Ein Schritt rechnet genau einen Integrationsschritt oder eine Iteration. Die Spur ist begrenzt, vor Start läuft keine Simulation. Unsichtbare Tools halten an. PNG pausiert und erfasst Ansicht samt Parametern. 3D für Hénon–Heiles benötigt WebGL; Ziehen dreht, Ctrl/Meta-Mausrad zoomt.