Billardsimulator

Die Tischvorschau ist vor dem ersten Stoß sichtbar. Ihr Pfeil zeigt die Startrichtung, ohne das Modell weiterzurechnen. Start und Pause teilen sich einen Button. Bahn löschen behält die Eingaben und kehrt zur Vorschau zurück. Die Bahnansicht zeigt Treffpunkt und Reflexionswinkel, der Phasenraum s und p. Beide Ansichten behalten Stoßzahl und Weglänge. Zahlenfelder oder Antippen des Tisches setzen einen neuen Start.

Ein idealer Massepunkt bewegt sich geradlinig und reflektiert elastisch am Rand. Es gibt keine Kräfte, Reibung, endlichen Kugelradius oder Hindernisse. Koordinateneinheiten sind frei; das Modell verwendet Geschwindigkeit eins. Die Wiedergabe zählt Stöße je Anzeigesekunde, keine physische Flugzeit. Die Geometrien können sich unterschiedlich verhalten; nicht jede Bahn oder jeder Tisch ist chaotisch.

Start und Bedienung. Der Start muss strikt im gewählten Tisch liegen. Rand- und Außenpunkte werden abgelehnt, niemals still verschoben. Auch Starts innerhalb von 128 Maschinen-Epsilon (etwa 2,84×10⁻¹⁴ Koordinateneinheiten) zum Rand gelten als numerisch uneindeutig und werden abgelehnt. Der Anfangswinkel zählt Umdrehungen gegen den Uhrzeigersinn ab +x: 0 rechts, 0,25 oben, 0,5 links; 1 entspricht 0. Start beginnt oder setzt fort. Ein Stoß pausiert und führt zu genau einem neuen Randtreffer. Bahn löschen behält die Eingaben und zeigt wieder die Vorschau. Antippen der Bahn setzt neue Startkoordinaten und stoppt den alten Lauf, ohne zu simulieren. Die Zahlenfelder bieten die Tastaturalternative.

Änderungen an Tisch, Start oder Richtung löschen die Bahn. Ansicht, Raster, Palette und gültige Änderungen der Wiedergaberate erhalten Modell und Verlauf. Unsichtbare Tools und Browser-Tabs pausieren. Lange Anzeigeunterbrechungen gehen mit höchstens 0,25 Sekunden in eine Wiedergabeaktualisierung ein. Nach 10.000 Stößen endet der Lauf; höchstens 10.000 Bahnpunkte und 10.000 reguläre Phasenpunkte bleiben erhalten. PNG speichert die beschriftete aktive Zeichenfläche.

Feste Tische. Rechteck: halbe Breite 0,48, halbe Höhe 0,34. Kreis: Radius 0,44. Ellipse: Halbachsen 0,5 und 0,32. Stadion: gerade Halblänge 0,28, Kappenradius 0,22. Dreieck und regelmäßige 3–12-Ecke: Umkreisradius 0,42, erster Eckpunkt beim Winkel π/2. Beide Bahnachsen haben denselben Maßstab; y zeigt nach oben.

Reflexion. Für die äußere Einheitsnormale n gilt v_aus = v_ein − 2(v_ein·n)n. Der Einfallswinkel zur Außennormalen entspricht dem Ausfallswinkel zur Innennormalen; beide werden als nichtnegative Winkel angezeigt. Pfeil e endet am Stoßpunkt, a beginnt dort; die gestrichelte Normale n zeigt nach außen. Pfeillängen dienen der Darstellung. Das Modell übernimmt den berechneten Randpunkt in den nächsten Strahl ohne künstliche Verschiebung nach innen.

Eine Polygonecke, auch eine Rechteckecke, hat keine eindeutige Normale und in diesem Modell keine definierte Fortsetzung. Dort wird ohne ausgehende Geschwindigkeit und ohne p gestoppt. Die Stadionübergänge haben gemeinsame Tangenten und sind keine Polygonecken. Auch Tangenten und mit Gleitkommazahlen nicht unterscheidbare nahe Treffer stoppen ausdrücklich. Strahlschnitte verwenden stabile quadratische Nullstellen; Eck- und Abstandsunterscheidungen bleiben endlich genau.

Phasenraum mit Vorzeichen. s ist die Bogenlänge gegen den Uhrzeigersinn, geteilt durch den Umfang, in [0,1). Für den tangentialen Einheitsvektor t = (−n_y,n_x) gilt p = v_aus·t / |v_aus| in [−1,1]. Das Vorzeichen unterscheidet die beiden tangentialen Richtungen; p = 0 bedeutet senkrechten Einfall. Der Ursprung liegt für Kreis und Ellipse ganz rechts, für Vielecke am ersten Eckpunkt, für das Rechteck unten links und für das Stadion bei (−a,−r). Beim Stadion folgen untere Gerade, rechte Kappe, obere Gerade und linke Kappe. Ellipsenbogenlängen verwenden eine gespeicherte Simpson-Quadratur mit 2048 Teilintervallen sowie der Auswertung eines Restintervalls und sind numerische Näherungen. Sonstige Umfänge und Bogenstücke haben analytische Längen.

Quellen: MIT, Paul Seidel: 18.900 Lecture 6 (Reflexionsgesetz und undefinierte Fortsetzung an Ecken); DynamicalBilliards.jl: Phasenräume (Randbogenlänge und ausgehender Winkel mit Vorzeichen).

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