Geodätische Kuppel

Ein geometrisches Netz untersuchen

Geodätisches Netz oder regelmäßiges C60-Schema wählen und rendern. Die geodätische Frequenz f ist ganzzahlig von 1 bis 5, Radius R liegt zwischen 0,1 und 100. Eine gemeinsame Längeneinheit frei wählen: Radius, Koordinaten und Sehnenlängen verwenden diese Einheit, der Flächeninhalt ihr Quadrat. C60 ignoriert Frequenz und Umfang.

Genauer Kantenindex und nativer Regler wählen eine tatsächliche Kante. Gemeinsam erscheinen die Knoten-IDs, Endpunktkoordinaten, Länge, Klasse und der Randstatus. Klassen werden ab 1 angezeigt. Die getrennte Klassenwahl betont Kanten, ohne die Probenkante umzusetzen. Vier orthographische Ansichten ändern nur die Zeichnung, nicht Netz oder Messwerte.

Frequenzunterteilung des Icosaeders

Das Ausgangsicosaeder verwendet normierte zyklische Permutationen von (0, ±1, ±φ), mit φ = (1 + √5)/2. Jede seiner 20 Dreiecksflächen wird baryzentrisch in f² Dreiecke unterteilt. Anschließend werden die Punkte radial auf die Kugel mit Radius R projiziert. Zusammenfallende Punkte werden mit einem Koordinatenschlüssel auf 10⁻¹² am Einheitsmodell vereinigt.

Das Vollnetz hat V = 10f² + 2 Knoten, E = 30f² Kanten und F = 20f² Flächen; damit ist V − E + F = 2. Bei f = 1 haben alle Kanten die Länge R√(2 − 2/√5). Kanten sind gerade Sehnen zwischen Knoten, keine Kugelbögen.

Offene Halbkuppel

Die obere Halbkuppel schneidet die vorhandenen ebenen Dreiecke an z = 0 und behält ihre oberen Teile. Neue Schnittpunkte bleiben auf den ursprünglichen geraden Kanten und werden nicht auf die Kugel zurückprojiziert. Sie können daher innerhalb der Kugel liegen; originale Projektionspunkte bleiben auf Radius R. In der festen Ausgangslage verläuft die z-Achse durch zwei gegenüberliegende Kantenmittelpunkte des Icosaeders.

Der Schnitt erzeugt einen offenen polygonalen Rand mit V − E + F = 1. Es wird kein Boden ergänzt. Schnittpolygone werden über ihre tatsächlichen Ränder gezählt; keine Diagonalen werden als Bauteilkanten ergänzt. Gestrichelte Randkanten gehören zu genau einer Fläche, innere Kanten zu zwei.

Regelmäßiges C60-Schema

Für jede gerichtete Originalkante a→b wird der Punkt (2a + b)/3 konstruiert; eine gemeinsame Normierung bringt alle Punkte auf Radius R. Aus jedem ursprünglichen Knoten entsteht ein Fünfeck, aus jedem ursprünglichen Dreieck ein Sechseck. Das regelmäßige abgestumpfte Icosaeder hat 60 Knoten, 90 Kanten und 32 Flächen: 12 Fünfecke und 20 Sechsecke. Jeder Knoten hat Grad 3; V − E + F = 2. Alle Kanten haben die Länge 4R/√(58 + 18√5).

Dies ist ein regelmäßiges geometrisches Schema. Reales C60 hat unterschiedliche Bindungslängen; die Werte hier sind keine molekularen Maße oder Bindungsvorhersagen.

Längen, Flächen und Zeichnung

Eindeutige Kanten werden nur aus zyklischen Polygonrändern gesammelt. Die Längenklassen stehen aufsteigend und verwenden eine Toleranz von 10⁻⁹ am Einheitsmodell. Jede Klasse zeigt eine repräsentative tatsächliche Kantenlänge, ihre Anzahl und die Anzahl am offenen Rand. Die Gesamtlänge zählt jede Kante einmal. Der Flächeninhalt ist die Summe ebener Polygonflächen, intern über Fächerdreiecke berechnet. Er ist kein Kugelflächeninhalt; die Rechendiagonalen werden weder gezeichnet noch als Kanten gezählt.

Die Ansicht ist transparent: Hintere Kanten bleiben sichtbar, und Kreuzungen behaupten keine Verdeckung. C60-Fünf- und Sechsecke haben unterschiedliche dezente Füllungen. Die gewählte Klasse wird farbig betont; die genaue Probenkante ist dicker und hat einen gefüllten Endpunkt a und einen offenen Endpunkt b. Eine ungültige Probe blendet Probenkante und Endpunktwerte aus; Netz und Klassentabelle bleiben sichtbar.

Geänderte Hauptparameter verwerfen das Ergebnis. Jedes Rendern startet mit Kante 0. Navigation bewahrt das vorbereitete Modell und die Probe; Neuladen oder Sprachwechsel stellt gültige Einstellungen wieder her und wartet auf Rendern. Das Tool liefert keine Statik, Knotenkonstruktion oder Materialzugaben.

Quelle

Friedrich Hirzebruch: Regular Polyhedra and the Football, insbesondere abgestumpftes Icosaeder, reale C60-Bindungsunterschiede und Triangulationszahlen. Radiale Projektion, ebener Schnitt und Längengruppierung folgen den oben beschriebenen geometrischen Konventionen.