Frenet-Serret-Rahmen

Einen begleitenden Rahmen untersuchen

Eine der sechs Kurven wählen und berechnen. Radius R wird bei Helix und Kreis verwendet, Steigung a nur bei der Helix. Genaues Parameterfeld und Regler wählen einen Punkt auf der vorbereiteten Kurve. Ein Ansichtswechsel ändert nur die Projektion. Koordinaten und Modellparameter sind dimensionslos; u ist ein Kurvenparameter und im Allgemeinen keine Bogenlänge.

Kurven und Bereiche

Für 0 ≤ u ≤ 2π: Helix r = (R cos u, R sin u, a u); Kreis r = (R cos u, R sin u, 0); Kleeblatt r = (sin u + 2 sin 2u, cos u − 2 cos 2u, −sin 3u). Für −1 ≤ u ≤ 1: Gerade r = (u, 0, 0); kubischer Wendepunkt r = (u, u³, 0); Spitze r = (u², u³, 0). Die Helix steigt pro Umlauf um 2πa, auch für negatives a. Kreis und Kleeblatt schließen exakt; die Helix behält bei 2π ihre volle Höhe.

Krümmung und Torsion

Alle Ableitungen nach u sind analytisch. T = r′/|r′|, B = (r′ × r″)/|r′ × r″| und N = B × T. Der Rahmen ist rechtshändig: B = T × N. Die Krümmung κ = |r′ × r″|/|r′|³ ist nichtnegativ. Die Torsion τ = ((r′ × r″) · r‴)/|r′ × r″|² behält ihr Vorzeichen; es gilt die Konvention dB/ds = −τN.

Für die Helix gilt κ = R/(R² + a²) und τ = a/(R² + a²). Mit R = 1 und a = 0,25 ergeben sich 16/17 und 4/17. Bei a = −0,25 bleibt die Krümmung gleich, die Torsion wird −4/17. Der Einheitskreis hat κ = 1 und τ = 0.

Undefinierte Rahmen

Auf der Geraden und bei u = 0 am kubischen Wendepunkt gilt κ = 0; T existiert, N, B und τ sind jedoch undefiniert. An der Spitze bei u = 0 ist r′ = 0, daher sind auch T und κ undefiniert. Ein Gedankenstrich bedeutet undefiniert, niemals null. Extrem schlecht konditionierte numerische Fälle werden getrennt gekennzeichnet; nur weiterhin berechenbare endliche Werte bleiben erhalten. Es wird kein Ersatzrahmen erfunden.

Die Projektion lesen

Die Zeichnung verbindet 401 Kurvenpunkte durch 400 gerade Segmente; die genaue Probe wird unabhängig davon ausgewertet. T, N und B haben jeweils die Modelllänge 1. In der Projektion können sie kürzer wirken oder auf einen Punkt schrumpfen. Alle vier Ansichten verwenden denselben räumlichen Maßstab und enthalten die gesamte Kurve samt Einheitspfeilen. Das xyz-Dreibein zeigt die Orientierung. Die Darstellung ist ein transparentes Drahtmodell; Linienkreuzungen zeigen keine Verdeckung an.

Die Schrägansicht verwendet Azimut 45° und Höhe 25°. Die anderen Ansichten blicken auf die xy-, xz- oder yz-Ebene. Eine ungültige Probe blendet Punkt und Rahmen aus; die Kurve bleibt erhalten. Änderungen an Kurvenparametern verwerfen das Ergebnis; Ergebnis leeren erhält die Eingaben. Navigation bewahrt Ergebnis und Ansicht. Neuladen oder Sprachwechsel stellt gültige Einstellungen wieder her und wartet auf Berechnen.

Quelle

Michael Taylor, Multivariable Calculus, §3.4: Konventionen des Frenet-Rahmens, Krümmung, Torsion und Helix.