Kubische Bézierkurve

Eine kubische Bézierkurve besitzt vier Kontrollpunkte P₀…P₃. Sie beginnt bei P₀ und endet bei P₃; die beiden inneren Punkte bestimmen ihre Form. Alle Koordinaten verwenden dieselben abstrakten Einheiten, keine Pixel. Zulässig sind endliche Koordinaten zwischen −1000000 und +1000000 sowie der Parameter t zwischen 0 und 1.

Die Auswertung erfolgt mit dem Algorithmus von de Casteljau: Zuerst zwischen benachbarten Punkten interpolieren, dann noch zweimal zwischen den Zwischenpunkten. Gleichwertig gilt B(t) = (1−t)³P₀ + 3(1−t)²tP₁ + 3(1−t)t²P₂ + t³P₃. Die Ableitung ist die quadratische Bézierkurve mit Kontrollpunkten 3(P₁−P₀), 3(P₂−P₁) und 3(P₃−P₂). Die angezeigten Ableitungen beziehen sich auf t, nicht auf den Weg entlang der Kurve.

Der grüne Richtungspfeil verwendet B′(t)/|B′(t)|. Seine Anzeigelänge ist für die aktuelle Ansicht fest; sie zeigt nicht den Betrag der Ableitung. Bei exakt B′(t) = 0 wird keine Richtung behauptet. Auch eine nichtkonstante Kurve kann eine verschwindende Ableitung besitzen. Das Beispiel „Stationärer Punkt“ zeigt dies bei t = 0,5.

Zeichnen startet die Ansicht ausdrücklich. Danach bewegen t-Feld und Schieber den Punkt B(t) gemeinsam. Änderungen an einer Koordinate entfernen das vorige Ergebnis bis zum erneuten Zeichnen. Alle vier Punkte lassen sich auch ziehen; die Zahlenfelder folgen derselben Berechnung. Während des Ziehens bleibt der Ausschnitt fest, nach dem Loslassen werden alle Kontrollpunkte eingepasst. Ein abgebrochener Zug stellt die vorherigen Punkte wieder her. Nur die Griffe übernehmen Touch-Gesten; außerhalb bleiben Scrollen und Mausrad unverändert. Bei deckungsgleichen Punkten zuerst eines der zugehörigen Zahlenfelder fokussieren und dann den Griff ziehen.

y zeigt nach oben, x und y haben denselben Maßstab. Die Kurve liegt in der konvexen Hülle ihrer Kontrollpunkte. Die optionale Längenschätzung summiert 100 gerade Sehnen bei gleichen t-Abständen; sie ist keine exakte oder adaptiv fehlerkontrollierte Bogenlänge. Konstante Kurven haben Länge null. Ansicht leeren behält die Eingaben und entfernt die Zeichnung; gültige Werte bleiben beim Navigieren erhalten. Quadratikmodus, Export und Animation sind nicht enthalten.

Quellen: Michigan Technological University, Algorithmus von de Casteljau und Ableitungen von Bézierkurven.