Membran-Knotenlinien

Dieser Rechner beschreibt eine homogene gespannte Membran mit vollständig festgehaltenem Rand: u_tt = c²Δu und Auslenkung null am Rand. Er berechnet keine Biegemoden einer metallischen Chladni-Platte und simuliert keinen Sand. c ist die Wellengeschwindigkeit auf der Membran, nicht unbedingt die Luftschallgeschwindigkeit. L bezeichnet die Quadratseite, R den Kreisradius, jeweils in Metern.

Quadrat. Mit X=x/L und Y=y/L gilt A=sin(mπX)sin(nπY), B=sin(nπX)sin(mπY) und Φ=(A+bB)/(1+|b|). Die ganzen Zahlen m,n liegen bei 1–8, b bei −1 bis 1. Beide Basismoden haben dieselbe Frequenz f=c√(m²+n²)/(2L). b=0 zeigt A, b=1 die Summe und b=−1 die Differenz. Für m=n wird stabil Φ=[(1+b)/(1+|b|)]A berechnet; auch sehr kleine, von null verschiedene Amplituden bleiben erhalten. Nur m=n und exakt b=−1 löschen sich vollständig aus: Dann wird keine aktive Frequenz oder Wellenlänge angezeigt.

Kreis. Mit X=x/R, Y=y/R, ρ=√(X²+Y²) und θ=atan2(Y,X) gilt Φ=J_m(αρ)cos(mθ). m=0–4 zählt die Knotendurchmesser; n=1–4 wählt die n-te positive Nullstelle α von J_m. Die Frequenz ist f=αc/(2πR), die Wellenlänge λ=c/f. Es gibt n−1 innere Ringe mit Radius/R=α_mj/α_mn und m Durchmesser bei θ=(π/2+jπ)/m. Ihre Winkel werden gegen den Uhrzeigersinn ab +x gemessen und in den Details in Radiant angegeben. m=0 hat keine Durchmesser. Der Mix b ist beim Kreis ohne Wirkung.

Das Bild lesen. Die Achsen x/L,y/L beziehungsweise x/R,y/R sind dimensionslos und gleich skaliert; y zeigt nach oben. Φ ist eine relative vorzeichenbehaftete Modenform, keine Auslenkung in Metern. Farben unterscheiden positive und negative Werte; schwarze Linien zeigen Knoten. Das Band |Φ|≤ε mit ε von 0 bis 0,1 markiert ausschließlich die Nähe zu null. Die Schwelle bezieht sich auf die angegebene Formel für Φ, nicht auf eine erneute Normierung am Bildmaximum. Sie verändert weder mathematische Knoten noch Frequenz. Das Bild ist statisch; ein Schwingungszeitpunkt mit Auslenkung null überall ist kein Knotenlinienmuster.

Kreisringe und Durchmesser sowie einzelne Quadratmoden und Moden mit gleichen Indizes haben analytische Knotenlinien. Für gemischte Quadratmoden mit verschiedenen m,n werden Nullkonturen auf einem 257×257-Raster linear interpoliert; Gitter-Nullen und Sattelzellen werden gesondert behandelt. Feinheiten unterhalb einer Rasterzelle bleiben eine Darstellungsnäherung. Die Kreisrechnung nutzt eine direkte Potenzreihe für ganzzahlige Bessel-Ordnungen und 20 tabellierte Nullstellen. Das ist ein begrenztes Modell, keine allgemeine Bibliothek für Spezialfunktionen. Die neutrale Auslöschungsansicht enthält keine einzelnen Knotenlinien.

Bedienung. Eingaben werden ohne stilles Begrenzen geprüft: c=1–5000 m/s, Größe=0,001–100 m. Ein Formwechsel erhält m,n und meldet unpassende Werte als Fehler. Jede Änderung entfernt das alte Ergebnis; Berechnen startet neu. Zurücksetzen erhält die Eingaben. Bei Navigation innerhalb der Seite bleibt das Ergebnis erhalten, beim Neuladen nur gültige Parameter; anschließend ist erneut Berechnen nötig.

Quellen: Penn State: rechteckige Membranen, Penn State: Kreismembranen, UT Austin: elastische Membran und NIST DLMF 10.9.2 zur Bessel-Integraldarstellung als Grundlage der unabhängig bestimmten Nullstellen.