Populationswachstum

Modell, Anfangspopulationen und Endzeit T wählen, dann berechnen. N und P sind kontinuierliche Größen, keine ganzzahligen oder stochastischen Bestände. Eine einheitliche Zeiteinheit verwenden. r, α und γ haben die Einheit 1/Zeit; β hat die Einheit 1/(Räuber × Zeit), δ die Einheit 1/(Beute × Zeit). Die idealisierten Modelle sind keine kalibrierten Vorhersagen realer Ökosysteme.

Exponentiell: dN/dt = rN, also N(t) = N₀ exp(rt). Die Verdopplungszeit ln(2)/r wird nur bei N₀ > 0 und r > 0 angezeigt. Eine Nullpopulation bleibt null; bei r = 0 bleibt die Population konstant.

Logistisch: dN/dt = rN(1 − N/K), mit Kapazität K > 0. Der Rechner nutzt die geschlossene Lösung. N₀ darf über K liegen: Für r > 0 nimmt die Population dann in Richtung K ab. N₀ = K bleibt konstant; N₀ = 0 bleibt null. Dieses Tool beschränkt r auf nichtnegative Werte. Für N₀ = 100, r = 0,2, K = 1000 und T = 10 ergibt sich N(T) ≈ 450,853.

Lotka–Volterra: dN/dt = N(α − βP), dP/dt = P(δN − γ). N bezeichnet die Beute, P die Räuber. Die Beuteressourcen sind in diesem Modell unbegrenzt. Sind alle vier Raten positiv, liegt das isolierte positive Gleichgewicht bei N* = γ/δ, P* = α/β. Ein Start genau dort bleibt stationär; das Modell enthält keine Dämpfung, die benachbarte Umläufe dort einpendeln lässt. Bei Nullraten wird kein isoliertes positives Koexistenzgleichgewicht angegeben. Nullpopulationen bleiben exakt null; die verbleibende Population entwickelt sich exponentiell.

Diagramme: Zeit- und Phasenansicht verwenden dieselben 401 Zeitpunkte von 0 bis T, bei T = 0 nur einen Punkt. Die Phasenansicht zeigt beim logistischen Modell (N, dN/dt), beim Räuber-Beute-Modell (N, P). ○ markiert den Anfang, ◆ das Ende; zusammenfallende Endpunkte teilen sich eine ◆. Gleiche Wegstrecken auf einer Phasenbahn entsprechen nicht gleichen Zeitabständen.

Numerik und Grenzen: Positive Räuber-Beute-Zustände werden durch adaptive RK4-Schrittverdopplung in ln N und ln P integriert, mit lokaler Logfehlertoleranz 10⁻¹⁰ und lokaler Ratenbegrenzung. Dies ist ein lokales Fehlerziel, keine Zusicherung desselben Gesamtfehlers. Höchstens 20.000 Schrittversuche sind erlaubt. Positive Populationen außerhalb 10⁻²⁵⁰ bis 10²⁵⁰, unauflösbare Schritte oder nichtendliche abgeleitete Werte führen zu einer Fehlermeldung. Populationen werden nicht geklemmt und unvollständige Kurven nicht als Ergebnis ausgegeben. Die Parametergrenzen sind Rechengrenzen: N₀/P₀ ≤ 10⁶, 10⁻⁶ ≤ K ≤ 10⁶, T ≤ 100, r/α/γ ≤ 5, β/δ ≤ 1. Gültige Eingaben bleiben beim Navigieren erhalten; Ausgabe leeren entfernt nur das Ergebnis. CSV exportiert alle gezeichneten Zeitpunkte, Populationen und momentanen Raten mit voller numerischer Genauigkeit.

Quellen: Chasnov, Mathematical Biology, §§1.1, 1.2 und 1.4 (die Räuber-Beute-Raten sind hier anders benannt); MIT 1.020, Annahmen des Räuber-Beute-Modells.