Modèle d’Ising (2D & 3D)

Expérience

Comparez les départs chauds et froids, changez la température T, le couplage J ou le champ H, et observez les domaines. Un J positif favorise des voisins égaux ; un J négatif favorise des voisins opposés. Un champ positif favorise +1, un champ négatif −1. L’antiferromagnétique triangulaire est frustré : les trois liaisons autour d’un triangle ne peuvent pas être satisfaites simultanément.

Modèle et réseau

E = −J Σ⟨ij⟩ sᵢsⱼ − H Σᵢ sᵢ, avec sᵢ = ±1 et chaque liaison comptée une fois. T, J et H partagent une unité d’énergie fixe, avec kB = 1 ; T n’est pas divisé par le J réglable. Les bords sont périodiques. Carré : quatre voisins axiaux. Triangulaire : six voisins selon trois directions de même longueur ; affiché dans une maille oblique. Cubique : six voisins axiaux. Cubique + diagonales : six axiaux plus huit voisins selon les diagonales de corps, tous couplés par le même J. Ce dernier graphe est un modèle cubique simple étendu.

Mises à jour et reproductibilité

Un balayage fait N propositions aléatoires à un spin, avec remise. ΔE = 2sᵢ(J Σⱼsⱼ + H). Accepter si ΔE ≤ 0, sinon avec probabilité exp(−ΔE/T) ; à T = 0, rejeter les ΔE positifs et accepter les mouvements neutres. Les balayages comptent des mises à jour Monte Carlo, pas des secondes physiques. Une graine aléatoire fixe reproduit l’état initial et les mises à jour. Redémarrer restaure l’expérience initiale ; Réinitialiser efface le résultat en conservant les saisies. La lecture utilise des balayages par seconde, indépendamment de la fréquence d’affichage, et ralentit sous charge. Les outils et onglets cachés la suspendent sans rattrapage ; le mouvement réduit démarre en pause.

Mesures

m = Σsᵢ/N est signé ; |m| est sa grandeur. Les moyennes temporelles de m et |m| sont distinctes. Sur les réseaux bipartis pairs avec J < 0, l’aimantation décalée pondère chaque spin par (−1)^(x+y+z). Chaque retournement accepté met à jour l’aimantation et l’énergie totales ; les propositions rejetées occupent tout de même le temps Monte Carlo. Les échantillons commencent après l’échauffement choisi et sont pris à l’intervalle de balayage sélectionné. Changer T, J, H ou les réglages d’échantillonnage efface les moyennes et relance l’échauffement sans remplacer les spins. Relancer l’échantillonnage fait de même. L’acceptation est comptée depuis cette réinitialisation de mesure. Les échantillons peuvent rester corrélés ; aucun intervalle de confiance ni test d’équilibre automatique n’est impliqué.

Références critiques et limites

Pour H = 0 et J > 0 sur un réseau infini, carré T꜀ = 2J/ln(1+√2), triangulaire T꜀ = 4J/ln3. L’estimation cubique est T꜀ ≈ 4.5115J. Aucun préréglage critique n’est fourni pour le graphe à 14 voisins. Les réseaux finis ont des transitions arrondies ; l’aimantation carrée ne saute pas de zéro à un de façon discontinue. Les mises à jour à un spin peuvent équilibrer très lentement près de la criticité, à basse température ou sous frustration. Ce sont des expériences pédagogiques sur réseau fini, pas des estimations d’exposants critiques.

Sources

Potoyan : modèle d’Ising et échantillonnage Metropolis ; Hinczewski & Berker : température critique triangulaire ; Butera & Comi : couplage critique cubique.