Mesures invariantes

Une mesure invariante est préservée par un système. On compare une trajectoire finie à des références connues, sans preuve d’invariance, d’ergodicité ou de mélange. Choisissez système, nombre d’échantillons, état initial et paramètres, puis Calculer. Les premières itérations sont écartées avant les N observations. Les classes de l’histogramme ont une largeur égale. Modifier efface le résultat. Calcul annulable en arrière-plan ; le progrès compte les étapes produites, y compris celles écartées.

Les barres bleues estiment la densité nombre/(N·largeur), d’aire intégrée1. Les applications utilisent[0,1] ; la marginale x de Lorenz utilise l’étendue observée, élargie pour une série constante. La dernière classe contient sa borne droite. Les marches orange sont les masses de référence exactement intégrées, divisées par la largeur. Les singularités logistiques aux bornes ne sont donc pas dessinées comme valeurs finies. Les masses sont dans la table.

Logistique : x′=rx(1−x),0≤r≤4. Seulement r=4 possède ici ρ(x)=1/(π√(x(1−x))), de moyenne1/2, d’où ce choix initial. Essayez x₀=.25 (point fixe .75) ou .5 (finalement0). Gauss : partie fractionnaire(1/x), avec0→0 ; ρ(x)=1/(ln2·(1+x)), moyenne1/ln2−1. Une trajectoire rationnelle ou numérique peut atteindre0. Rotation : partie fractionnaire(x+α), référence uniforme de moyenne1/2 pour tout α, sans affirmer l’unicité si α est rationnel.

Lorenz : ẋ=σ(y−x), ẏ=x(ρ−z)−y, ż=xy−βz, RK4 avec Δt=.006 fixe. Les trois coordonnées initiales sont modifiables ; β=2.6667 est le préréglage numérique existant. La distribution x est empirique sans référence analytique affirmée. Une trajectoire divergente ou non finie est rejetée entièrement.

Moyenne cumulée et variance de population utilisent toutes les observations. Au plus600 points sont dessinés, dont le dernier ; seul l’affichage est réduit. Des moyennes égales ne prouvent pas l’égalité des distributions ni une trajectoire typique. Échantillonnage, corrélations, conditions initiales et périodicité numérique comptent ; aucun intervalle de confiance ou verdict d’ergodicité. Redimensionner redessine le résultat conservé.

Les saisies, brouillons de chaque système et panneaux ouverts sont enregistrés dans ce navigateur. PNG exporte les deux graphiques avec nombre d’échantillons, étapes écartées, classes et paramètres.

CMU · Logistic measure, pp.1–2 · Manchester · Gauss/rotations, §§3.3,8.6

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