Pendules couplés

Explorer les modes propres et l’échange d’énergie entre deux ou trois pendules dans un modèle aux petits angles.

À propos de cet outil

Comparer les modes propres et l’échange d’énergie dans une chaîne de deux ou trois pendules identiques. Choisissez un mode pur pour voir une fréquence, ou ne déplacez que le premier pendule pour exciter plusieurs modes.

Modèle et entrées

Chaque masse a une masse m = 1 kg et une longueur de fil L = 1,2 m. Les points de suspension adjacents sont à 0,9 m, avec une accélération gravitationnelle g = 9,81 m/s². Les ressorts ne relient que les masses voisines ; les extrémités de la chaîne sont libres, sans ressorts de mur. La raideur de ressort k est une constante de ressort physique en N/m, de 0 à 5. L’amplitude initiale va de 0 à 0,2 rad et la durée de 1 à 60 s.

C’est un modèle non amorti, plan, aux petits angles. L’extension du ressort est approximée par L(θᵢ₊₁ − θᵢ), et la gravité est linéarisée en θ. Il n’y a ni forçage, ni amortissement, ni dynamique aux grands angles, ni mouvement hors du plan. Le diagramme montre chaque masse en (pivot + L sin θ, −L cos θ) de sorte que chaque fil a sa vraie longueur L ; ce dessin géométrique ne change pas la dynamique linéarisée.

Déplacement initial

Tous les pendules partent avec une vitesse angulaire nulle. Pendule 1 seulement déplace la première masse. Chaque préréglage de mode choisit une forme propre pure, avec sa plus grande magnitude d’angle initial égale à l’amplitude choisie. Le mode 3 n’est disponible que pour trois pendules. À k = 0 les pendules sont indépendants ; un pendule initialement non excité reste exactement au repos. Une amplitude nulle laisse toute la chaîne au repos.

Les valeurs par défaut sont deux pendules, la première masse déplacée de 0,15 rad, k = 0,8 N/m, et une fenêtre de 30 s. Comparez leurs courbes d’énergie pour voir l’échange entre les pendules. Un maximum dans une enveloppe de battement n’établit pas à lui seul un transfert d’énergie complet.

Usage

L’aperçu, les valeurs actuelles et les modes propres se mettent à jour immédiatement. Déplacez le premier pendule seul pour observer l’échange d’énergie, ou choisissez un mode pur. Lecture lance l’horloge commune en temps réel ; Pause l’arrête. Le champ et le curseur de temps sondent la même solution analytique dans chaque vue. Les onglets déplacement et énergie ne construisent leurs courbes complètes qu’à l’ouverture ; ensuite le marqueur de temps se déplace sans reconstruire les courbes. Un temps invalide masque les marqueurs et valeurs sans changer une courbe préparée. Modifier un paramètre arrête la lecture et prépare un nouvel aperçu au repos. Réinitialiser conserve les paramètres et revient à zéro.

Ouvrez Valeurs et modes pour les angles, vitesses angulaires et fréquences propres, puis les composantes d’énergie pour le bilan. Seuls les paramètres bruts, le nombre de pendules et l’excitation sont enregistrés, y compris les saisies incomplètes ou invalides. Recharger ou revenir prépare les pendules au repos, sans restaurer temps écoulé, courbes, vue sélectionnée, détails ouverts ni expérience calculée.

Modes propres

L’équation linéaire est θ̈ = −Aθ, avec A = (g/L)I + (k/m)D, où D est le laplacien de chaîne libre. Pour deux pendules ses valeurs propres sont μ = 0, 2 et les formes sont (1, 1), (1, −1). Pour trois elles sont μ = 0, 1, 3 et (1, 1, 1), (1, 0, −1), (1, −2, 1). Le tableau de formes donne des amplitudes relatives ; le calcul utilise des vecteurs orthonormalisés eⱼ.

Chaque fréquence angulaire satisfait Ωⱼ² = g/L + (k/m)μⱼ, avec fⱼ = Ωⱼ/(2π) en Hz. La coordonnée modale initiale est qⱼ(0) = eⱼ · θ(0), et θ(t) = Σeⱼqⱼ(0)cos(Ωⱼt). Les vitesses angulaires sont ses dérivées temporelles analytiques. Les préréglages de mode pur mettent tous les autres coefficients de mode à zéro. Avec un couplage nul, toutes les fréquences de mode coïncident.

Énergie

L’énergie cinétique est T = ½mL²Σθ̇ᵢ², l’énergie potentielle gravitationnelle est Ug = ½mgLΣθᵢ², et l’énergie de ressort est Uk = ½kL²Σ(θᵢ₊₁ − θᵢ)². Le total E = T + Ug + Uk est conservé par le modèle. Le graphique d’énergie montre l’énergie assignée de chaque pendule et le total, tous en joules.

L’énergie assignée d’un pendule inclut son énergie cinétique et gravitationnelle plus la moitié de l’énergie de chaque ressort adjacent. Cette répartition égale est une convention pour afficher l’échange d’énergie local ; sommer les énergies assignées donne le total. Ouvrez Composantes d’énergie pour inspecter T, Ug, Uk et E à l’instant courant.

Méthode numérique et sources

La solution est évaluée analytiquement en utilisant les modes propres. Les échantillons de graphique ont au plus 0,04 rad de la phase du mode le plus rapide entre points adjacents, avec au plus 7223 points. La sonde temporelle est évaluée indépendamment de ces échantillons. Les valeurs affichées sont arrondies, en notation scientifique pour les petits résultats non nuls.