Lignes nodales de membrane

Ce calculateur décrit une membrane homogène tendue dont tout le bord est fixé : u_tt = c²Δu et déplacement nul à la frontière. Il ne calcule pas les modes de flexion d’une plaque de Chladni métallique ni ne simule le sable. c est la vitesse d’onde sur la membrane, pas nécessairement la vitesse du son dans l’air. L est le côté du carré et R le rayon du cercle, en mètres.

Carré. Avec X=x/L et Y=y/L, A=sin(mπX)sin(nπY), B=sin(nπX)sin(mπY) et Φ=(A+bB)/(1+|b|). Les entiers m,n valent 1–8 ; b va de −1 à 1. Les deux modes de base partagent f=c√(m²+n²)/(2L). b=0 montre A, b=1 leur somme, et b=−1 leur différence. Quand m=n l’expression devient Φ=[(1+b)/(1+|b|)]A, en conservant même de très petites amplitudes non nulles. Seuls m=n et exactement b=−1 s’annulent complètement : alors aucune fréquence ni longueur d’onde active n’est affichée.

Cercle. Avec X=x/R, Y=y/R, ρ=√(X²+Y²) et θ=atan2(Y,X), Φ=J_m(αρ)cos(mθ). m=0–4 compte les diamètres nodaux ; n=1–4 sélectionne le n-ième zéro positif α de J_m. La fréquence est f=αc/(2πR), et λ=c/f. Il y a n−1 anneaux intérieurs de rayon/R=α_mj/α_mn et m diamètres à θ=(π/2+jπ)/m. Leurs angles sont antihoraires depuis +x et donnés en radians dans les détails. m=0 n’a pas de diamètres. Le mélange b n’a aucun rôle pour le cercle.

Lire l’image. Les axes sont sans dimension x/L,y/L ou x/R,y/R, à échelles égales et y vers le haut. Φ est une forme de mode relative signée, pas un déplacement en mètres. Les couleurs distinguent les valeurs positives et négatives ; les lignes noires marquent les nœuds. La bande |Φ|≤ε, avec ε de 0 à 0,1, ne fait que souligner la proximité de zéro. Son seuil utilise la formule de Φ indiquée, pas une renormalisation au maximum tracé, et ne change jamais les nœuds mathématiques ni la fréquence. Le tracé est statique ; l’instant où un mode vibrant a un déplacement partout nul n’est pas son motif nodal.

Anneaux et diamètres du cercle, modes carrés simples et modes d’indices égaux ont des lignes nodales analytiques. Pour les modes carrés mélangés de m,n différents, les contours sont interpolés linéairement sur une grille 257×257 avec un traitement explicite des zéros de grille et des cellules en selle. Une géométrie plus fine qu’une cellule reste une approximation de tracé. Les fonctions de Bessel du cercle utilisent une série entière d’ordre entier directe et 20 zéros tabulés ; c’est un calcul borné, pas une bibliothèque générale de fonctions spéciales. La vue d’annulation neutre n’a pas de lignes nodales isolées.

Utilisation. Calculer produit le premier motif. Ensuite, les modifications valides actualisent directement le tracé ; une saisie incorrecte efface l’ancien résultat sans déplacer le focus. Réinitialiser rétablit le mode carré par différence par défaut. Changer de forme conserve m,n et signale les valeurs hors limites. Le stockage commun du navigateur conserve les saisies, même vides ou incorrectes, ainsi que le mélange carré inactif ; aucun tracé ni champ calculé n’est sauvegardé. Recharger ou revenir à l’outil attend Calculer. Les deux axes gardent la même échelle ; le tracé s’adapte à la fenêtre et limite son tampon de pixels.

Sources : Penn State : membranes rectangulaires, Penn State : membranes circulaires, UT Austin : membranes élastiques, et NIST DLMF 10.9.2 pour la représentation intégrale de Bessel sous-jacente aux zéros déterminés indépendamment.