Modelo de Ising (2D y 3D)

Experimento

Compara arranques calientes y fríos, cambia la temperatura T, el acoplamiento J o el campo H, y observa cómo evolucionan los dominios. Un J positivo favorece vecinos iguales; un J negativo favorece vecinos opuestos. Un campo positivo favorece +1, uno negativo −1. El antiferromagneto triangular está frustrado: los tres enlaces de un triángulo no pueden satisfacerse a la vez.

Modelo y red

E = −J Σ⟨ij⟩ sᵢsⱼ − H Σᵢ sᵢ, con sᵢ = ±1 y cada enlace contado una vez. T, J y H comparten una unidad de energía fija, con kB = 1; T no se divide por el J ajustable. Los contornos son periódicos. Cuadrada: cuatro vecinos axiales. Triangular: seis vecinos a lo largo de tres direcciones de igual longitud; se muestra en una celda oblicua. Cúbica: seis vecinos axiales. Cúbica + diagonales: seis axiales más ocho vecinos de diagonal espacial, todos acoplados por el mismo J. Este último grafo es un modelo cúbico simple extendido.

Actualizaciones y reproducibilidad

Un barrido hace N propuestas aleatorias de un solo espín con reemplazo. ΔE = 2sᵢ(J Σⱼsⱼ + H). Se acepta si ΔE ≤ 0; si no, con probabilidad exp(−ΔE/T); a T = 0 se rechazan ΔE positivos y se aceptan movimientos neutros. Los barridos cuentan actualizaciones Monte Carlo, no segundos físicos. Una semilla aleatoria fija reproduce el estado inicial y las actualizaciones. Reiniciar restaura el experimento inicial; Restablecer borra el resultado y conserva las entradas. La reproducción usa barridos por segundo con independencia de la cadencia de pantalla y se ralentiza bajo carga. Las herramientas y pestañas ocultas la suspenden sin recuperar el tiempo; el movimiento reducido arranca en pausa.

Medidas

m = Σsᵢ/N es con signo; |m| es su magnitud. Las medias temporales de m y |m| son distintas. En redes bipartitas pares con J < 0, la magnetización escalonada pondera cada espín por (−1)^(x+y+z). Cada giro aceptado actualiza la magnetización y la energía totales; las propuestas rechazadas ocupan igualmente tiempo Monte Carlo. Las muestras empiezan tras el calentamiento elegido y se toman al intervalo de barrido seleccionado. Cambiar T, J, H o los ajustes de muestreo borra las medias y vuelve a empezar el calentamiento sin reemplazar los espines. Reiniciar el muestreo hace lo mismo. La aceptación se cuenta desde ese restablecimiento de medidas. Las muestras pueden seguir correlacionadas; no se implica intervalo de confianza ni prueba automática de equilibrio.

Referencias críticas y límites

Para H = 0 y J > 0 en una red infinita, cuadrada T꜀ = 2J/ln(1+√2), triangular T꜀ = 4J/ln3. La estimación cúbica es T꜀ ≈ 4.5115J. No hay preajuste crítico para el grafo de 14 vecinos. Las redes finitas tienen transiciones redondeadas; la magnetización cuadrada no salta de forma discontinua de cero a uno. Las actualizaciones de un solo espín pueden equilibrar muy despacio cerca de la criticidad, a baja temperatura o bajo frustración. Son experimentos educativos en red finita, no estimaciones de exponentes críticos.

Fuentes

Potoyan: modelo de Ising y muestreo Metropolis; Hinczewski & Berker: temperatura crítica triangular; Butera & Comi: acoplamiento crítico cúbico.