Caja Gauss/Stokes

Comparar dos lados calculados de forma independiente

Elija Stokes o Gauss, un campo vectorial, radio 0.1–5, resolución n = 8–64 y orientación ε = +1 o −1. Calcular evalúa ambos lados por separado y los compara con una referencia analítica común. La sonda elige un índice exacto de la cuadratura del lado izquierdo sin recalcular las integrales. Las coordenadas, los campos y los valores de las integrales son ejemplos adimensionales.

Stokes: círculo y disco

El disco D yace en el plano xy. El teorema de Stokes compara ∮C F · dr con ∬D curl F · (0,0,ε) dA. Para ε = +1, C₊ recorre en sentido antihorario visto desde +z; para ε = −1, C₋ recorre en sentido horario y la normal se invierte con él.

La aproximación izquierda usa n cuerdas rectas orientadas de un polígono inscrito. Cada contribución es F en el punto medio de la cuerda producto escalar el vector de la cuerda, equivalentemente F · t por la longitud de la cuerda. Esto aproxima la integral circular continua; no es integración exacta sobre el círculo. El lado derecho usa n² muestras del disco de peso igual en r = R√((j + 1/2)/n), θ = 2π(k + 1/2)/n, cada una ponderada por πR²/n². El área del polígono se informa aparte del área del disco πR².

Gauss: esfera cerrada y bola

El teorema de la divergencia de Gauss usa normalmente la normal hacia fuera: ∯∂V F · n_out dS = ∭V div F dV. Aquí la normal elegida es εn_out. Para orientación hacia dentro la comparación es por tanto ∯∂V F · (−n_out) dS = −∭V div F dV. El signo menos se aplica también a la integral de volumen.

La esfera tiene n² muestras de área igual. Con μ = z/R = −1 + 2(j + 1/2)/n y los mismos puntos medios angulares, cada muestra representa el área 4πR²/n². El volumen usa n capas de volumen igual en r = R∛((j + 1/2)/n) con esas muestras angulares: n³ puntos, cada uno ponderado por 4πR³/(3n³). Ambas sumas usan suma compensada. La celda seleccionada está acotada por μ = −1 + 2j/n y −1 + 2(j + 1)/n, y θ = 2πk/n y 2π(k + 1)/n.

Campos y referencias exactas

El remolino F = (−y,x,0) tiene rotacional (0,0,2). La torsión F = (1+x²+y²)(−y,x,0) tiene rotacional (0,0,2+4(x²+y²)). Ambos tienen divergencia nula. El radial F = (x,y,z), el de cizalla F = (x,0,0) y el cúbico F = (x³,y³,z³) tienen divergencias 3, 1 y 3(x²+y²+z²), respectivamente, y rotacional nulo. El uniforme F = (0,0,1) tiene divergencia y rotacional nulos.

Las referencias de Stokes son ε2πR² para el remolino y ε2πR²(1+R²) para la torsión; los otros campos originales dan cero. Las de Gauss son ε4πR³ para el radial, ε4πR³/3 para el de cizalla y ε12πR⁵/5 para el cúbico; los otros campos originales dan cero. Las columnas de error dan la diferencia absoluta de cada lado numérico respecto a su referencia. Izquierda menos derecha compara las dos aproximaciones de forma directa.

Para el remolino en R = 1 y ε = +1, la referencia es 2π. La aproximación por cuerdas es n sin(2π/n), que ilustra el error del polígono al crecer n. Para Gauss radial en R = 1, ambas orientaciones dan magnitud 4π con el signo elegido.

Leer el dibujo y la sonda

Ambas geometrías giran al arrastrar o usar las flechas con el dibujo enfocado; siguen disponibles xy, xz, yz y vista oblicua. La esfera es transparente. Punto, campo, dirección unitaria, medida y contribución pertenecen a la misma muestra.

Una sola escala de campo s = 0.35R / max|F| sobre todas las sondas del modelo se usa para cada flecha de F. Conserva las diferencias de magnitud y limita la flecha espacial más grande a 0.35R. Las flechas normal o tangente tienen longitud 0.25R; la leyenda da ambos factores reales. La proyección puede acortar una flecha o reducirla a un punto. Una flecha de campo no se normaliza de forma independiente.

Las selecciones actualizan inmediatamente el resultado; los números válidos tras una breve pausa o Intro. Animar integral recorre las muestras reales en ocho segundos y muestra las contribuciones ponderadas acumuladas. La suma final corresponde al lado izquierdo numérico, no necesariamente a la referencia continua exacta. Selección, borradores, vista y modelo terminado sobreviven a recargas y cambios de idioma; JSON respalda todo. El almacenamiento bloqueado o excesivo muestra un aviso.

Fuentes

OpenStax: Stokes' theorem y OpenStax: the divergence theorem. Las reglas de cuadratura anteriores son aproximaciones numéricas explícitas.

La hélice F=(−y+0,35x,x+0,35y,0,35z+0,7) combina rotación y expansión: divergencia1,05, rotacional(0,0,2). Referencia de Gauss ε1,4πR³; Stokes ε2πR². Flujo azul para F·n>0 y rosa para F·n<0. Cada zona coloreada promedia las muestras subyacentes sin cambiar la cuadratura ni normalizar cada flecha. La celda elegida conserva sus límites numéricos exactos. Un campo vertical uniforme muestra la cancelación de flujos positivos y negativos.

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