Líneas nodales de membrana

Este calculador describe una membrana homogénea tensa con todo el borde fijo: u_tt = c²Δu y desplazamiento nulo en el contorno. No calcula los modos de flexión de una placa de Chladni metálica ni simula arena. c es la velocidad de onda en la membrana, no necesariamente la velocidad del sonido en el aire. L es el lado del cuadrado y R el radio del círculo, en metros.

Cuadrado. Con X=x/L e Y=y/L, A=sin(mπX)sin(nπY), B=sin(nπX)sin(mπY) y Φ=(A+bB)/(1+|b|). Los enteros m,n van de 1 a 8; b de −1 a 1. Los dos modos de base comparten f=c√(m²+n²)/(2L). b=0 muestra A, b=1 su suma y b=−1 su diferencia. Cuando m=n la expresión se evalúa como Φ=[(1+b)/(1+|b|)]A, conservando incluso amplitudes no nulas muy pequeñas. Solo m=n y exactamente b=−1 se anulan por completo: entonces no se muestra frecuencia ni longitud de onda activa.

Círculo. Con X=x/R, Y=y/R, ρ=√(X²+Y²) y θ=atan2(Y,X), Φ=J_m(αρ)cos(mθ). m=0–4 cuenta diámetros nodales; n=1–4 elige el n-ésimo cero positivo α de J_m. La frecuencia es f=αc/(2πR) y λ=c/f. Hay n−1 anillos interiores con radio/R=α_mj/α_mn y m diámetros en θ=(π/2+jπ)/m. Sus ángulos son antihorarios desde +x y se dan en radianes en los detalles. m=0 no tiene diámetros. La mezcla b no interviene en el círculo.

Cómo leer la figura. Los ejes son adimensionales x/L,y/L o x/R,y/R con escalas iguales e y hacia arriba. Φ es una forma modal relativa con signo, no un desplazamiento en metros. Los colores distinguen valores positivos y negativos; las líneas negras marcan nodos. La banda |Φ|≤ε, con ε de 0 a 0,1, solo destaca la proximidad a cero. Su umbral usa la fórmula de Φ indicada, no una renormalización al máximo dibujado, y nunca cambia los nodos matemáticos ni la frecuencia. El gráfico es estático; el instante de un modo vibrante en que el desplazamiento es nulo en todas partes no es su patrón nodal.

Los anillos y diámetros del círculo, los modos simples del cuadrado y los modos de índices iguales tienen líneas nodales analíticas. En modos cuadrados mezclados con m,n distintos, los contornos se interpolan linealmente en una rejilla 257×257 con tratamiento explícito de ceros de rejilla y celdas de silla. La geometría más fina que una celda sigue siendo una aproximación del trazado. Las funciones de Bessel del círculo usan una serie de potencias de orden entero directo y 20 ceros tabulados; es un cálculo acotado, no una biblioteca general de funciones especiales. La vista de anulación neutra no tiene líneas nodales aisladas.

Uso. Calcular genera el primer patrón. Después, los cambios válidos actualizan el gráfico directamente; las entradas no válidas borran el resultado anterior sin mover el foco. Restablecer recupera el modo cuadrado por diferencia predeterminado. Cambiar de forma conserva m,n y avisa de valores fuera de rango. El almacenamiento común del navegador conserva las entradas, incluso vacías o no válidas, y la mezcla cuadrada inactiva; no guarda gráficos ni campos calculados. Al recargar o volver a la herramienta se espera a Calcular. Ambos ejes mantienen la misma escala; el gráfico se adapta a la ventana y limita su búfer de píxeles.

Fuentes: Penn State: rectangular membranes, Penn State: circular membranes, UT Austin: elastic membranes y NIST DLMF 10.9.2 para la representación integral de Bessel que subyace a los ceros determinados de forma independiente.