Stable Manifolds

Diskrete lineare Sattelabbildung oder Hénon-Abbildung wählen und Berechnen. Blau ist stabil (Vorwärtsiterationen nähern sich dem Fixpunkt), Orange instabil (Rückwärtsiterationen nähern sich ihm), Rosa der Fixpunkt. Bei diskreten Abbildungen entscheidet der Eigenwertbetrag |λₛ|<1<|λᵤ|, nicht das Vorzeichenkriterium kontinuierlicher Flüsse. Negative Eigenwerte wechseln bei jeder Iteration die Seite.

Linear: A=R(θ)diag(λₛ,λᵤ)R(θ)ᵀ. Die Eigenrichtungen sind orthonormal; halbe Länge ist der euklidische Abstand vom Ursprung zum Endpunkt. Die Geraden sind exakte invariante Unterräume dieser Abbildung. Drehung und Eigenwerte sind editierbar; die tatsächliche Matrix steht in den Details.

Hénon: F(x,y)=(1−ax²+y,bx), inverse F⁻¹(x,y)=(y/b,x−1+a(y/b)²). Beide reellen Fixpunkte sind wählbar. Nur ein Sattel mit einer stabilen und einer instabilen Richtung wird akzeptiert; anziehende oder marginale Punkte liefern einen Fehler statt erfundener Kurven.

Eine lokale Taylor-Parametrisierung K(t) vom Grad 20 erfüllt F(K(t))=K(λt) koeffizientenweise. Die Tangente ist der normierte Eigenvektor. Der lokale Radius wird verkleinert, bis abgetasteter Invarianzdefekt und letzte Polynomterme klein sind. Numerische Indikatoren, keine rigorosen Fehlereinschließungen. Fundamentalsegmente beider Vorzeichen werden instabil vorwärts und stabil rückwärts erweitert, anhand von Segmentlänge und Mittelpunktskrümmung adaptiv aufgelöst und auf das gewählte Quadrat begrenzt. Getrennte Äste werden nie verbunden.

Endliche Erweiterungsschritte, begrenzte Auswertungszahl und Verfeinerungstiefe; unaufgelöste sichtbare Kurven liefern einen Fehler. Sehr entfernte/entkommene Teile werden ausgelassen. Endliche Abtastung kann dünne zurückkehrende Äste verfehlen, Rückwärtsiteration verstärkt Rundungsfehler. Weder gesamte globale Mannigfaltigkeit noch Schnittpunkte/Chaos werden zertifiziert. Kürzere Erweiterungen und kleinere Ausschnitte vergleichen; der lokale Defekt begrenzt nicht jeden erweiterten Punkt.

Abbrechbarer Worker; Größenänderung zeichnet gespeicherte Daten neu. PNG exportiert tatsächliche Kurven, gleich skalierte Achsen, Parameter und Farbbedeutung. Rohwerte, inaktive Felder, aufgeklappte Bereiche und fertige Kurven bleiben lokal erhalten. Neuladen wertet den gespeicherten Unterteilungsplan ohne adaptive Verfeinerung oder Rundung gespeicherter Koordinaten aus; Berechnen führt die adaptive Rechnung erneut aus. Der Plan beschreibt diese endliche Näherung und beweist keine vollständige Abdeckung. Blau ist stabil, Orange gestrichelt instabil, Rosa markiert den Fixpunkt im Ausschnitt.

Gonzalez & Mireles James · Parameterization

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