Quantenwellenpaket (1D Schrödinger)

Ein Paket verfolgen

Potential wählen und starten. Das Beispielpaket beginnt bei x₀ = 48 mit k₀ = 3 und σ = 5. Die Standardbarriere hat Höhe 5 und Breite 1,25; sichtbar werden Reflexion und ein kleinerer transmittierter Anteil. Pause und Schritt betrachten ein Δt. Zurücksetzen leert das Ergebnis und behält Eingaben. Änderungen am Modell erfordern einen neuen Start; Wiedergaberate und Phasenfarbe bleiben während des Laufs veränderbar.

Modell und Anfangszustand

Es gilt iψₜ = −½ψₓₓ + Vψ mit ħ = m = 1 auf einem Gebiet der Länge 160. Anfangs ist ψ proportional zu exp[−(x−x₀)²/(2σ²)]exp[ik₀(x−x₀)]. Die Dichte hat Standardabweichung σ/√2. Die mittlere freie Energie ist k₀²/2 + 1/(4σ²), nicht nur die Energie des mittleren Impulses. Der angezeigte Anfangswert enthält auch die mittlere potentielle Energie. Alle Größen sind Modellgrößen ohne konkrete SI-Zuordnung.

Barriere, Brunnen und Stufe beginnen bei x = 100. V₀ ist positiv; der Brunnen nutzt −V₀. Breite wirkt nur bei Barriere oder Brunnen. Sie wird auf ganze Gitterzellen gerundet; der tatsächliche Wert steht in den Details. Das harmonische Potential ist ½ω²(x−80)². Grundzustand setzt x₀ = 80, k₀ = 0 und σ = 1/√ω; seine Energie ist ω/2.

Wahrscheinlichkeit und Ränder

Alle Anteile beziehen sich auf die ursprüngliche Norm eins. Verbleibender und absorbierter Anteil ergeben bis auf Rundung eins. Links und rechts absorbierte Ausläufer werden getrennt aufsummiert. Die Ortsanteile links/im/rechts vom Potential sind nicht automatisch fertige Reflexions- und Transmissionskoeffizienten: Anfangs liegt links das einlaufende Paket. Erst nach Trennung auslaufender Pakete nähern Links-/Rechtssummen samt absorbierten Ausläufern die Streuanteile an. Die Stufe hat keinen endlichen Innenbereich. Mittelwert und Streuung beziehen sich auf die verbleibende Dichte und entfallen unter Norm 10⁻¹⁰; der Mittelwert verfolgt keine fortgesetzte Ortskoordinate über periodische Ränder.

Die FFT ist periodisch. Der absorbierende Modus ergänzt ein glattes imaginäres Potential in den äußeren 16 Einheiten. Das verringert die Rückkehr, garantiert aber keine reflexionsfreien Ränder. Eine Meldung zeigt Randkontakt. Absorption wird symmetrisch mit dem Potential angewendet und skaliert mit Δt; Verluste werden nicht wegnormiert. Periodischer Modus erhält die Norm und erlaubt die Rückkehr an der Gegenseite.

Genauigkeit und Darstellung

Strang-Aufspaltung setzt Potential-Halbschritte um einen vollen kinetischen Fourier-Schritt. Automatisches Δt: 0,04/0,01/0,0025 bei 512/1024/2048 Punkten. Eigene Schritte dürfen zwischen einem Achtel dieses Werts und dem Wert liegen. Dieser unterstützte Genauigkeits-/Aufwandsbereich ist kein CFL-Stabilitätssatz. Feinere Gitter und halbe Zeitschritte vergleichen, besonders bei unstetigen Potentialen; stabile Norm allein belegt keine genaue Streuwahrscheinlichkeit.

Die Dichteskala schrumpft nicht; Potential und Energie haben eine eigene beschriftete Skala. Phasenfarbe ist zyklisch und wird bei vernachlässigbarer Dichte ausgeblendet. Wiedergabe strebt die gewählten Modellzeiteinheiten je realer Sekunde an, kann unter Last langsamer laufen und pausiert bei unsichtbarem Tool. Gezeigt werden endliche Pakete, keine exakten monochromatischen Streuzustände.

Quellen: Herleitung der Split-Operator-Methode; MIT: Gaußsche Wellenpakete.