Persistente Homologie

Kanten erscheinen, wenn ihre euklidische Länge höchstens ε beträgt. Ein Dreieck erscheint, sobald alle drei Kanten vorhanden sind. ε ist ein Abstandsschwellwert, kein Scheibenradius. Überlappende Flächen in der Zeichnung erzeugen keine zusätzlichen Verbindungen im abstrakten Komplex.

Einmal berechnen, dann ε verändern. β₀ zählt aktuelle Zusammenhangskomponenten; β₁ unabhängige Schleifen über F₂. Der Barcode zeigt Intervalle [Entstehung, Ende). Paare ohne Lebensdauer sind ausgeblendet. Ein Pfeil bedeutet, dass ein Merkmal beim gewählten Maximum noch besteht; nicht, dass es für immer bleibt. Berechnet werden nur H₀/H₁, mit höchstens 24.000 Dreiecken.

Beim Quadrat besteht eine Schleife ab ε=1 bis ε=√2. Dann kommen Diagonalen und Flächen hinzu. PNG exportiert den aktuellen Komplex, CSV die Intervalle mit positiver Lebensdauer und Filtrationsgrenze. Ein leeres Ende bedeutet: an dieser Grenze noch vorhanden.

Nach der ersten Berechnung aktualisieren gültige Einstellungen automatisch. Klicken oder Ziehen im Barcode wählt ε. In den Einstellungen sind 2–80 eigene Punkte möglich (ein x-y-Paar pro Zeile); Abstände gelten in den ursprünglichen Koordinateneinheiten. Bei Dezimalkomma mit Leerzeichen oder Semikolon trennen. PNG enthält die aktuellen Punkte, ε und die Filtrationsgrenze als Metadaten. Zurücksetzen stellt die Standardeingaben wieder her. Nur Eingaben bleiben gespeichert; der Komplex wird nach Navigation neu berechnet.