Kreisel
3D-Präzession, Nutation und drehmomentfreie Bewegung mit Rechner
Über dieses Tool
Ein symmetrischer starrer Kreisel dreht sich um ein festes reibungsfreies Lager. Die Schwerkraft greift am Schwerpunkt im Abstand d entlang der Körperachse 3 an. I bezeichnet beide transversalen Hauptmomente am Lager, I₃ das axiale Moment. Das Quermoment am Schwerpunkt ist I − m d². Physikalische Momente erfordern I ≥ m d² + I₃/2. Der gezeichnete Rotor ist schematisch, keine Rekonstruktion einer Massendichte.
Beispiel wählen und abspielen oder Startparameter ändern. ω₁, ω₂ und ω₃ sind anfängliche Komponenten der Winkelgeschwindigkeit im körperfesten System. Die Neigung θ wird von der Vertikalen +Y gemessen; positives ω₃ folgt der Rechte-Hand-Regel um die Körperachse. Das drehmomentfreie Beispiel behält seine Querkomponenten und präzediert um den festen Drehimpuls. Bei einem freien symmetrischen Kreisel bleibt der Kegelwinkel zu diesem Vektor konstant; mit Gravitation kann zusätzlich Nutation auftreten.
Die Wiedergabe führt die physikalische Zeit mit dem gewählten Faktor fort. Ein Schritt addiert immer 0,05 s, unabhängig vom Zeitfaktor. Zurücksetzen stellt die aktuellen Startparameter wieder her und pausiert. Eingabeänderungen starten den Anfangszustand neu; ungültige Felder blenden alte Werte und Geometrie aus. Verborgene Ansichten oder Browsertabs pausieren. Bei Rückkehr innerhalb der App bleibt die Bewegung pausiert erhalten; Neuladen stellt nur gültige Parameter wieder her und wartet auf Abspielen. Alte unvalidierte Zustände werden ignoriert.
Die Dynamik verwendet gekoppelte Euler-Gleichungen und eine Quaternion-Haltung, mit τ = r × mg. RK4-Teilschritte begrenzen die Winkelphase auf 0,015 rad. Lange Darstellungsframes übernehmen vor dem Zeitfaktor höchstens 50 ms; Rückstand wird nicht nachgeholt. Pausierte Ansichten zeichnen nur bei Interaktion oder Größenänderung. Schnelle Radmarkierungen können durch die Bildabtastung scheinbar rückwärts laufen: Zeitlupe verwenden.
Für schnellen, nahezu axialen Spin gilt als Referenz Ω ≈ mgd/(I₃ω₃), mit Vorzeichen um +Y, und T ≈ 2π/|Ω|. Der Sinus der Neigung kürzt sich zwischen Drehmoment und Präzessionskegel. Dies sind Näherungen, keine gemessene momentane Präzession. Bei Nullspin, vertikaler Achse, |Ω| ≥ 0,1|ω₃| oder Querrotation ≥ 0,2|ω₃| werden sie ausgeblendet. Die Schwellen sind eine Anzeigeheuristik, keine strenge Gültigkeitsgarantie.
Physikalische Werte zeigen K, die Gesamtenergie E = K + mgd·nY sowie vertikalen Drehimpuls Lᵧ und axialen I₃ω₃. E und beide Komponenten bleiben im idealen Gravitationsmodell erhalten; ohne Drehmoment bleiben alle Labor-Drehimpulskomponenten konstant. Gleitkommaintegration besitzt endliche Fehler. Richtungspfeile haben feste Anzeigelängen; die Zahlen vergleichen, nicht die Pfeillängen. Die Spur enthält höchstens 400 jüngste Achsenspitzenpositionen.
Momente von 10⁻⁴ bis 0,1 kg·m², Masse von 0,01 bis 2 kg, d von 0 bis 0,3 m, Spin von −600 bis 600 rad/s, Querrotation von −200 bis 200 rad/s und Neigung von 0 bis 180°. Keine Reibung, Anregung, Lagernachgiebigkeit oder Kollisionen. Alle Berechnungen laufen im Browser.