Gauß und Stokes

Zwei unabhängig berechnete Seiten vergleichen

Stokes oder Gauß, ein Vektorfeld, Radius 0,1–5, Auflösung n = 8–64 und Orientierung ε = +1 oder −1 wählen. Berechnen wertet beide Seiten getrennt aus und vergleicht sie mit einer gemeinsamen analytischen Referenz. Die Probe wählt einen genauen Index der linken Quadratur, ohne die Integrale neu zu berechnen. Koordinaten, Felder und Integralwerte sind dimensionslose Beispiele.

Stokes: Kreis und Scheibe

Die Scheibe D liegt in der xy-Ebene. Der Satz von Stokes vergleicht ∮C F · dr mit ∬D rot F · (0,0,ε) dA. Bei ε = +1 verläuft C₊ aus +z gesehen gegen den Uhrzeigersinn; bei ε = −1 verläuft C₋ im Uhrzeigersinn und die Normale kehrt sich mit um.

Die linke Näherung verwendet n orientierte gerade Sehnen eines eingeschriebenen Polygons. Jeder Beitrag ist das Feld F am Sehnenmittelpunkt, skalar multipliziert mit dem Sehnenvektor, gleichbedeutend mit F · t mal Sehnenlänge. Dies nähert das kontinuierliche Kreisintegral an; es ist keine exakte Kreisintegration. Rechts werden n² gleichgewichtete Scheibenproben bei r = R√((j + 1/2)/n), θ = 2π(k + 1/2)/n verwendet, jeweils mit Gewicht πR²/n². Die Polygonfläche steht getrennt von der Scheibenfläche πR².

Gauß: geschlossene Kugel und Volumen

Der Gaußsche Divergenzsatz verwendet üblicherweise die äußere Normale: ∯∂V F · n_außen dS = ∭V div F dV. Hier ist die gewählte Normale εn_außen. Für innere Orientierung lautet der Vergleich daher ∯∂V F · (−n_außen) dS = −∭V div F dV. Das Minuszeichen gilt ausdrücklich auch für das Volumenintegral.

Die Kugeloberfläche hat n² flächengleiche Proben. Bei μ = z/R = −1 + 2(j + 1/2)/n und denselben Winkelmittelpunkten steht jede Probe für die Fläche 4πR²/n². Das Volumen verwendet n volumengleiche Schalen bei r = R∛((j + 1/2)/n) mit diesen Winkelproben: n³ Punkte, jeweils mit Gewicht 4πR³/(3n³). Beide Summen verwenden kompensierte Summation. Die gewählte Zelle ist durch μ = −1 + 2j/n und −1 + 2(j + 1)/n sowie θ = 2πk/n und 2π(k + 1)/n begrenzt.

Felder und exakte Referenzen

Das Wirbelfeld F = (−y,x,0) hat Rotation (0,0,2). Das Drehfeld F = (1+x²+y²)(−y,x,0) hat Rotation (0,0,2+4(x²+y²)). Beide haben Divergenz null. Radialfeld F = (x,y,z), Scherfeld F = (x,0,0) und kubisches Feld F = (x³,y³,z³) haben die Divergenzen 3, 1 beziehungsweise 3(x²+y²+z²) und Rotation null. Das konstante Feld F = (0,0,1) hat Divergenz und Rotation null.

Stokes-Referenzen sind ε2πR² für das Wirbelfeld und ε2πR²(1+R²) für das Drehfeld; alle anderen Felder ergeben null. Gauß-Referenzen sind ε4πR³ für das Radialfeld, ε4πR³/3 für das Scherfeld und ε12πR⁵/5 für das kubische Feld; alle anderen ergeben null. Die Fehlerspalten zeigen den absoluten Abstand jeder numerischen Seite zur Referenz. Links minus rechts vergleicht beide Näherungen direkt.

Für das Wirbelfeld bei R = 1 und ε = +1 ist die Referenz 2π. Die Sehnennäherung lautet n sin(2π/n) und zeigt den Polygonfehler bei wachsendem n. Beim radialen Gauß-Fall mit R = 1 ergibt sich für beide Orientierungen der Betrag 4π mit dem gewählten Vorzeichen.

Zeichnung und Probe lesen

Stokes verwendet immer die xy-Ansicht. Gauß bietet eine Schrägansicht sowie Projektionen auf xy, xz und yz. Die Kugellinien sind transparent; ihre Kreuzungen behaupten keine Verdeckung. Positionspunkt, Feldkomponenten, Einheitstangente oder -normale, Maß, Integrand und Beitrag gehören jeweils zur selben gewählten Probe.

Ein gemeinsamer Feldmaßstab s = 0,35R / max|F| über alle Modellproben gilt für jeden F-Pfeil. Er erhält Betragsunterschiede und begrenzt den größten räumlichen Pfeil auf 0,35R. Normalen- oder Tangentenpfeile haben die Länge 0,25R; die Legende nennt beide tatsächlichen Faktoren. Projektion kann einen Pfeil verkürzen oder auf einen Punkt reduzieren. Feldpfeile werden nicht einzeln normiert.

Eine geänderte Haupteingabe verwirft das alte Ergebnis. Beim Wechsel zu Gauß wird das Radialfeld gewählt, beim Wechsel zu Stokes das Wirbelfeld. Eine ungültige Probe blendet ihre Werte und Markierungen aus; das statische Gebiet bleibt. Jede Berechnung startet mit Probe 0. Navigation bewahrt das Ergebnis; Neuladen oder Sprachwechsel stellt gültige Einstellungen wieder her und wartet auf Berechnen.

Quellen

OpenStax: Satz von Stokes und OpenStax: Divergenzsatz. Die oben beschriebenen Quadraturen sind ausdrücklich numerische Näherungen.