FEM-Rechner

Modell und Referenz vergleichen

Einen der sechs Fälle wählen, Geometrie, Steifigkeit und Lasten eingeben und Berechnen drücken. Beispiel stellt die Standardwerte des gewählten Falls wieder her und rechnet. Zurücksetzen löscht das Ergebnis und behält die Eingaben. Geänderte Modellparameter verwerfen das alte Ergebnis. Die gestrichelte analytische Kurve lässt sich ohne neue Rechnung umschalten; Referenz und Bilanz sowie Knotenwerte liefern numerische Details.

Modelle, Einheiten und Vorzeichen

Alle Elemente haben gleiche Länge und konstante Eigenschaften. Stäbe verwenden die Dehnsteifigkeit EA, mit E in Pa und A in m². Links fest; positive Kraft, axiale Gleichlast und Verschiebung zeigen nach rechts. Bei Endlast gilt u(L)=PL/(EA), bei Gleichlast q gilt u(L)=qL²/(2EA). Lineare Zweiknotenelemente treffen für diese Fälle die Knotenwerte; das Profil bei Gleichlast bleibt zwischen den Knoten jedoch nur stückweise linear.

Balken verwenden Euler–Bernoulli-Biegung mit EI in N·m² und I in m⁴. Positive Lasten und Auslenkungen zeigen nach unten; θ=dw/dx, positive Knotenmomente wirken entsprechend im Uhrzeigersinn. Der Kragbalken hält w und θ links fest und erlaubt Endkraft P plus Gleichlast w. Seine Endauslenkung ist PL³/(3EI)+wL⁴/(8EI). Beim beidseitig gelagerten Balken sind die Endverschiebungen null und die Drehungen frei; Gleichlast ergibt 5wL⁴/(384EI) bei L/2. Die FEM-Kurve verwendet kubische Hermite-Interpolation von Verschiebung und Drehung einschließlich der Extrema zwischen Knoten. Unter Gleichlast ist das exakte Profil quartisch: Exakte Knotenwerte machen ein grobes Profil noch nicht exakt.

Die Federkette enthält n physische Federn mit je k in N/m; die Endverschiebung ist nP/k. Eine Änderung von n verändert die Kette, nicht nur ein Rechennetz. Die Länge legt die Knotenorte in der Skizze fest. k ist bereits Kraft je Verschiebung und wird nicht nochmals durch die Segmentlänge geteilt.

Die stationäre Wärmeleitung hat keine innere Quelle. k·A ist Wärmeleitfähigkeit mal Querschnitt in W·m/K; der Leitwert des gesamten Stabs ist kA/L in W/K. Temperaturen stehen in °C. Bei zwei festen Endtemperaturen ist T(x) linear; der Wärmestrom nach rechts beträgt kA(T₀−T₁)/L. Alternativ tritt eine positive Leistung Qᵣ rechts ein: T(L)=T₀+QᵣL/kA, Wärmestrom nach rechts −Qᵣ. Leistung null bedeutet rechts isoliert. Zugeführte Randleistungen sind nach innen positiv und summieren sich zu null. Temperaturen unter dem absoluten Nullpunkt werden abgewiesen.

Reaktionen, Netz und Grenzen

Lagerkräfte, Momente und Randleistungen werden mit Ku−F aus dem ursprünglichen System bestimmt, auch bei ausschließlich vorgeschriebenen Freiheitsgraden. Gleiche doppelte Randvorgaben zählen einmal; widersprüchliche oder ungültige Vorgaben und singuläre Systeme weist der Kern ab. Die angebotenen Fälle sind ausreichend gelagert. Diagonalskalierung macht die Lösertoleranz unabhängig von einem gemeinsamen Steifigkeitsfaktor. Unterstützt sind 1–80 Elemente beziehungsweise Federn.

Horizontale und vertikale Diagrammskalen sind getrennt; die obere Skizze ist unverformt. Das markierte Maximum gehört zum FEM-Feld, nicht zwingend zur exakten Kontinuumslösung. Bei überall null ist jeder Ort maximal; ausgegeben wird der linkeste. Referenzdifferenzen unter 5·10⁻⁹ der Ergebnis-/Referenzgröße und Bilanzreste unter 10⁻⁹ der Lastskala erscheinen als null, um Gleitkommarundung zu unterdrücken.

Dies sind linear-statische Lehrmodelle mit konstanten Eigenschaften, kleinen Dehnungen und schlanken Balken. Schubverformung, Knicken, Plastizität, veränderliche Querschnitte und Bemessungsnachweise fehlen. Eine große berechnete Verformung belegt keine physikalische Gültigkeit der linearen Theorie.

Referenzen: TU Delft: Euler–Bernoulli-Elemente; MIT: Balkenauslenkung.