Elliptisches Billard

Eine endliche Billardbahn untersuchen

Ellipse, Startrichtung und Stoßzahl wählen. Berechnen zeigt die vollständige endliche Bahn und wählt den ersten Stoß. Nach der ersten Berechnung aktualisieren gültige Änderungen automatisch. Zahlenfeld und Schieber untersuchen einzelne Reflexionen. Abspielen wechselt alle 0,7 Sekunden zum nächsten berechneten Stoß; Pause hält die Auswahl, Reset kehrt zum ersten zurück. Das zeigt die Reflexionsfolge, keine physikalische Flugzeit. Die Wiedergabe endet am letzten Stoß, bei Eingabeänderungen und beim Ausblenden des Tools.

Messwerte öffnet Trefferkoordinaten, Einfalls-/Ausfallswinkel, Fokusabstände und Weglängen. Fokusabstände beziehen sich auf das auslaufende endliche Segment; alle Längen verwenden dieselbe Einheit wie a und b. Der durchgezogene farbige Strahl läuft ein, der gestrichelte läuft aus; n bezeichnet die äußere Normale und t die Tangente. SVG exportiert die gewählte Zeichnung mit aufgelösten Themefarben und Parametern. Gespeichert werden nur rohe Eingabeentwürfe, auch ungültige inaktive Richtungsfelder; keine berechneten Bahnen, Stoßauswahl oder Wiedergabezustände. Neuladen oder Navigation wartet auf Berechnen.

Ellipse und Startrichtung

Der Rand ist x²/a² + y²/b² = 1 mit a ≥ b. Die Foki liegen bei F₁ = (−c,0) und F₂ = (c,0), wobei c = √[(a − b)(a + b)] gilt. Alle Koordinaten, Abstände und Halbachsen verwenden dieselbe frei gewählte Längeneinheit.

Der Fokusstart beginnt exakt in F₁. Die Richtung α zählt gegen den Uhrzeigersinn von +x. Der Randstart beginnt bei (a cosφ, b sinφ). φ ist der Parameterwinkel der Ellipse und bei verschiedenen a und b nicht der Polarwinkel des Punktes.

Beim Randstart bezeichnet n die äußere Einheitsnormale und t = (−n_y,n_x) die positiv umlaufende Einheitstangente. Die Startrichtung lautet u = −cosδ n + sinδ t. Bei δ = 0 zeigt sie entlang der inneren Normalen; positives δ neigt sie zur positiven Tangente. Der Bereich −89°…89° schließt einen exakt tangentialen Start aus, auf den kein positiver innerer Flug folgt.

Reflexion und Fokusregel

Für die einlaufende Einheitsrichtung u gilt bei idealer Spiegelreflexion u′ = u − 2(u·n)n. Einfalls- und Ausfallswinkel werden zur Normalen gemessen, nicht zur Tangente. Die Winkelbögen verwenden die innere Normale als Bezug. Beide Winkel sind gleich. Pfeilspitzen kennzeichnen die Flugrichtungen; der Normalenpfeil weist nach außen.

Ein Strahl aus einem Fokus wird durch den anderen Fokus reflektiert. Die Fokusstart-Familie verläuft deshalb nach aufeinanderfolgenden Stößen abwechselnd durch F₂ und F₁. Angezeigt werden die kürzesten Abstände beider Foki zum tatsächlichen auslaufenden endlichen Segment einschließlich seiner Endpunkte. Das sind keine Abstände zu einer unendlichen Geraden oder zu einem bewegten Animationspunkt. Kleine Gleitkommareste bleiben sichtbar, statt pauschal als null ausgegeben zu werden.

Für a = 1,5, b = 1 und Fokus-Richtung 35° liegt der erste Treffer ungefähr bei (0,2842390227; 0,9818821332). Beide Winkel betragen etwa 47,6686298954°, und das auslaufende Segment führt durch F₂. Das Quadrat-Kreis-Beispiel trifft nacheinander (0,1), (−1,0), (0,−1), (1,0). Bei a = b fallen beide Foki im Zentrum zusammen und werden gemeinsam beschriftet. Die Kreisdurchmesserbahn hat einen Normalenwinkel von 0°.

Zählung und Geltungsbereich

Bei k gewählten Reflexionen umfasst die Bahn k + 1 Flugsegmente: den Einlauf zum ersten Stoß sowie einen Auslauf nach jeder Reflexion. Der letzte Endpunkt zeigt den abschließenden auslaufenden Flug und wird nicht erneut reflektiert. Der Gesamtweg zählt alle k + 1 Segmente; Weg bis zum Stoß endet am gewählten Treffer.

Zulässig sind a und b von 0,2 bis 5 mit b ≤ a, globale Richtung und Randparameterwinkel von −180° bis 180°, Neigung von −89° bis 89° und 1…24 Reflexionen. Das sind Produktgrenzen, keine Grenzen des Reflexionsgesetzes. Betrachtet wird ideale Punktteilchengeometrie mit geraden freien Flügen und Spiegelreflexion am Rand, ohne Reibungs- oder Verformungsmodell.

Quelle

Herman Serras, Universität Gent: Billiards — Reflexionsgeometrie, Normalen- und Tangentenhalbierende, Fokusregel und Kreisfall.