Evolute / Reflexionskaustik

Beispiel, Modus und Kurve auswählen, die sichtbaren Parameter setzen und berechnen. Der Krümmungsmodus zeigt die Evolute als Ortskurve der Krümmungsmittelpunkte C. Der Reflexionsmodus zeigt eine Punktquelle L und die Hüllkurve Q der reflektierten Trägergeraden. Die Probe verschieben oder eine genaue Position von 0 bis 100 % eingeben. Die Position verändert den Kurvenparameter linear, nicht die Bogenlänge. Die Probe wird unabhängig von den dargestellten Kurvenstützpunkten ausgewertet. Ergebnis leeren behält die Eingaben.

LE bezeichnet eine frei gewählte Längeneinheit, die für alle Koordinaten und Längen gleich verwendet wird. Die Ellipse lautet P(u) = (a cos u, b sin u) mit u von 0 bis 2π. Ein Kreis ist der Fall a = b. Die Parabel lautet P(u) = (u, ku²), die Gerade P(u) = (u, 0), jeweils mit u von −Halbspanne bis +Halbspanne. Der Koeffizient k hat die Einheit 1/LE. Die Quelle ist L = (Quelle x, Quelle y).

Mit Einheitstangente T = P′/|P′| und Linksnormale N lautet die vorzeichenbehaftete Krümmung κ = det(P′, P″)/|P′|³. Der Krümmungsradius ist 1/κ, sein Mittelpunkt C = P + N/κ. Für die dargestellten Parametrisierungen von Ellipse und Parabel ist die Krümmung positiv. Eine Gerade hat κ = 0 und keinen endlichen Radius oder Mittelpunkt. Normale und Krümmungskreis gehören zum gewählten P; der Kreis wird am Ausschnitt abgeschnitten. Offene Mittelpunktsymbole bleiben sichtbar, wenn die Evolute wie beim Kreis auf einen Punkt zusammenfällt.

Für die Ellipse gilt C = ((a² − b²)cos³u/a, (b² − a²)sin³u/b). Für die Parabel gilt C = (−4k²u³, 1/(2k) + 3ku²). Diese Mittelpunkte beschreiben die lokale Biegung und sind von der Reflexionskaustik zu unterscheiden.

Bei Reflexion ist U = (P − L)/|P − L| die einfallende Einheitsrichtung und r = 2(U·T)T − U die reflektierte Richtung. Benachbarte reflektierte Geraden haben die Form P(u) + λr(u). Ihre Hüllkurve erfüllt det(P′ + λr′, r) = 0; daraus folgen λ = det(P′, r)/det(r, r′) und Q = P + λr. λ ist eine vorzeichenbehaftete Entfernung: Bei nichtnegativen Werten liegt Q entlang des reflektierten Strahls, bei negativen auf dessen rückwärtiger Verlängerung. Virtuelle Kaustiken und die gewählte rückwärtige Verlängerung sind gestrichelt. Die Pfeile zeigen die tatsächliche Einfalls- und Reflexionsrichtung; wenige weitere Strahlen veranschaulichen dieselbe Familie.

Fällt die Quelle mit P zusammen, ist die Reflexion undefiniert. Ein verschwindender Nenner liefert keinen endlichen Hüllkurvenpunkt: lokal parallele Strahlen bei nicht verschwindendem Zähler oder eine entartete Geradenfamilie, wenn beide verschwinden. Die numerische Einordnung verwendet eine relative Schwelle von 10⁻¹²: |det(r, r′)| ≤ 10⁻¹²·max(1, |r′|); mit |det(P′, r)| ≤ 10⁻¹²·|P′| gilt der Fall als entartet. Quellkontakt verwendet Abstand ≤ 10⁻¹²·max(1, |P|). Daher können auch nahezu parallele Geraden als ohne endlichen Punkt gelten; exakte Parallelität wird damit nicht behauptet.

Das Ellipsenfokus-Beispiel reflektiert zum anderen Fokus. Eine Parabel mit Quelle im Fokus erzeugt parallele reflektierte Strahlen. Eine Gerade mit Quelle abseits der Geraden besitzt trotz Krümmung null eine virtuelle Punktkaustik an der gespiegelten Quelle. Zum Beispiel ergibt eine Quelle (0, 1) oberhalb von y = 0 den Punkt Q = (0, −1). Liegt die Quelle auf der Geraden, ist die Trägergeradenfamilie abseits des Quellkontakts entartet.

Der quadratische Ausschnitt hat gleiche x- und y-Maßstäbe. Er umfasst im Krümmungsmodus Kurve und Evolute, im Reflexionsmodus Kurve und Quelle, mit insgesamt 24 % Rand. Unbeschränkte Kaustikäste werden abgeschnitten und an erkannten Polen und Singularitäten getrennt. Genaue Probenkoordinaten bleiben auch außerhalb des Ausschnitts verfügbar. Die 721 gleichmäßig parametrisierten Darstellungsstützpunkte garantieren keine Genauigkeit nahe Kaustikpolen. Dargestellt wird eine Reflexion an der Tangente ohne Verdeckung, weitere Wandkontakte, Intensität, Beugung oder Brechung; dies ist keine reale Optikauslegung.

Eingabegrenzen: a, b und Halbspanne von 0,2 bis 3 LE, k von 0,01 bis 2 pro LE sowie Quellkoordinaten von −5 bis 5 LE. Alle Berechnungen bleiben im Browser.

Quellen: James R. King, Investigating the Geometry of Curves Dynamically; Robert Jantzen, Explicit equations for the evolute of an ellipse.