Evolute / Reflexionskaustik

Ein Beispiel wählen oder Modus, Kurve und Parameter in den Einstellungen bearbeiten. Gültige Änderungen wirken direkt. Die Punktprobe verschieben oder abspielen, um Normale, Krümmungskreis oder reflektierten Strahl zu verfolgen. Genaue Position, Messwerte und Legende stehen in den Einstellungen. Die Position parametrisiert die Kurve linear, nicht nach Bogenlänge. Eingaben bleiben auch unfertig oder inaktiv erhalten; Plots werden beim Neuladen neu berechnet. Animationsposition und Bilder werden nicht gespeichert. Reset stellt die anfängliche Ellipse wieder her.

LE bezeichnet eine frei gewählte Längeneinheit, die für alle Koordinaten und Längen gleich verwendet wird. Die Ellipse lautet P(u) = (a cos u, b sin u) mit u von 0 bis 2π. Ein Kreis ist der Fall a = b. Die Parabel lautet P(u) = (u, ku²), die Gerade P(u) = (u, 0), jeweils mit u von −Halbspanne bis +Halbspanne. Der Koeffizient k hat die Einheit 1/LE. Die Quelle ist L = (Quelle x, Quelle y).

Mit Einheitstangente T = P′/|P′| und Linksnormale N lautet die vorzeichenbehaftete Krümmung κ = det(P′, P″)/|P′|³. Der Krümmungsradius ist 1/κ, sein Mittelpunkt C = P + N/κ. Für die dargestellten Parametrisierungen von Ellipse und Parabel ist die Krümmung positiv. Eine Gerade hat κ = 0 und keinen endlichen Radius oder Mittelpunkt. Normale und Krümmungskreis gehören zum gewählten P; der Kreis wird am Ausschnitt abgeschnitten. Offene Mittelpunktsymbole bleiben sichtbar, wenn die Evolute wie beim Kreis auf einen Punkt zusammenfällt.

Für die Ellipse gilt C = ((a² − b²)cos³u/a, (b² − a²)sin³u/b). Für die Parabel gilt C = (−4k²u³, 1/(2k) + 3ku²). Diese Mittelpunkte beschreiben die lokale Biegung und sind von der Reflexionskaustik zu unterscheiden.

Bei Reflexion ist U = (P − L)/|P − L| die einfallende Einheitsrichtung und r = 2(U·T)T − U die reflektierte Richtung. Benachbarte reflektierte Geraden haben die Form P(u) + λr(u). Ihre Hüllkurve erfüllt det(P′ + λr′, r) = 0; daraus folgen λ = det(P′, r)/det(r, r′) und Q = P + λr. λ ist eine vorzeichenbehaftete Entfernung: Bei nichtnegativen Werten liegt Q entlang des reflektierten Strahls, bei negativen auf dessen rückwärtiger Verlängerung. Virtuelle Kaustiken und die gewählte rückwärtige Verlängerung sind gestrichelt. Die Pfeile zeigen die tatsächliche Einfalls- und Reflexionsrichtung; wenige weitere Strahlen veranschaulichen dieselbe Familie.

Fällt die Quelle mit P zusammen, ist die Reflexion undefiniert. Ein verschwindender Nenner liefert keinen endlichen Hüllkurvenpunkt: lokal parallele Strahlen bei nicht verschwindendem Zähler oder eine entartete Geradenfamilie, wenn beide verschwinden. Die numerische Einordnung verwendet eine relative Schwelle von 10⁻¹²: |det(r, r′)| ≤ 10⁻¹²·max(1, |r′|); mit |det(P′, r)| ≤ 10⁻¹²·|P′| gilt der Fall als entartet. Quellkontakt verwendet Abstand ≤ 10⁻¹²·max(1, |P|). Daher können auch nahezu parallele Geraden als ohne endlichen Punkt gelten; exakte Parallelität wird damit nicht behauptet.

Das Ellipsenfokus-Beispiel reflektiert zum anderen Fokus. Eine Parabel mit Quelle im Fokus erzeugt parallele reflektierte Strahlen. Eine Gerade mit Quelle abseits der Geraden besitzt trotz Krümmung null eine virtuelle Punktkaustik an der gespiegelten Quelle. Zum Beispiel ergibt eine Quelle (0, 1) oberhalb von y = 0 den Punkt Q = (0, −1). Liegt die Quelle auf der Geraden, ist die Trägergeradenfamilie abseits des Quellkontakts entartet.

Der eingepasste Bereich hat gleiche x- und y-Maßstäbe. Er umfasst im Krümmungsmodus Kurve und Evolute, im Reflexionsmodus Kurve und Quelle, mit insgesamt 24 % Rand. Unbeschränkte Kaustikäste werden abgeschnitten und an erkannten Polen und Singularitäten getrennt. Genaue Probenkoordinaten bleiben auch außerhalb des Ausschnitts verfügbar. Die 721 gleichmäßig parametrisierten Darstellungsstützpunkte garantieren keine Genauigkeit nahe Kaustikpolen. Dargestellt wird eine Reflexion an der Tangente ohne Verdeckung, weitere Wandkontakte, Intensität, Beugung oder Brechung; dies ist keine reale Optikauslegung.

Eingabegrenzen: a, b und Halbspanne von 0,2 bis 3 LE, k von 0,01 bis 2 pro LE sowie Quellkoordinaten von −5 bis 5 LE. Alle Berechnungen bleiben im Browser.

Quellen: James R. King, Investigating the Geometry of Curves Dynamically; Robert Jantzen, Explicit equations for the evolute of an ellipse.

Die Grafik passt Kurve und Evolute beziehungsweise Kurve und Quelle mit gleichen x/y-Maßstäben und insgesamt 24 % Rand in das verfügbare Rechteck ein. Bei einer Geraden wird auch der virtuelle Bildpunkt einbezogen. Unbeschränkte Kaustikäste bleiben abgeschnitten und werden nicht über erkannte Pole verbunden. PNG exportiert die aktuelle Zeichnung mit numerischen Parametern.