Klothoide

Bei einer Klothoide ändert sich die Krümmung linear mit dem signierten Bogenparameter. Skala a und Endparameter L wählen und Berechnen drücken. Die gesamte Kurve von s=0 bis s=L bleibt sichtbar, während die Probe verschoben wird. Es gibt keine automatische Animation. Die x/y-Achsen zeigen Meter und sind gleich skaliert.

Konvention. Hier gilt x(s)=∫₀ˢ cos(t²/(2a²))dt und y(s)=∫₀ˢ sin(t²/(2a²))dt. Daraus folgen θ(s)=s²/(2a²), κ(s)=s/a² und r′(s)=(cosθ,sinθ). Die Tangente ist ein Einheitsvektor in Richtung zunehmenden s; der gezeichnete Pfeil hat eine feste Bildlänge. θ wird in Radiant angegeben und nicht auf eine Umdrehung zurückgeführt.

Negative Parameter. L ist eine Endkoordinate, keine negative geometrische Länge. Die gesamte Bogenlänge beträgt |L|. Für negatives s gilt x(−s)=−x(s), y(−s)=−y(s), θ(−s)=θ(s) und κ(−s)=−κ(s). Die Probe liegt im signierten Intervall von 0 bis L. Ihre Koordinaten werden für dieses s berechnet und nicht auf einen Kurvenstützpunkt gerundet.

Krümmungskreis. Für s≠0 ist der positive Radius R=1/|κ|, der Mittelpunkt (x−sinθ/κ, y+cosθ/κ). Das Vorzeichen von κ bestimmt die Kreisseite relativ zur Tangente. Der Kreis berührt die Kurve genau an der Probe, die auch allen angezeigten Zahlen zugrunde liegt. Bei s=0 sind Tangente (1,0) und κ=0; es gibt keinen endlichen Radius oder Mittelpunkt. L=0 ergibt daher einen einzelnen Punkt und den geraden Grenzfall.

Große Kreise werden am Diagrammrand abgeschnitten, ohne die Kurvenansicht zu vergrößern. Ihre sichtbaren Bögen werden relativ zur Probe berechnet, um Auslöschung durch sehr große Mittelpunktkoordinaten zu vermeiden. Kreissehnen haben höchstens 0,15 CSS-Pixel geometrischen Näherungsfehler. Die statische Kurve darf innerhalb von 0,2 CSS-Pixeln vereinfacht werden; feinere Windungen unter der Bildschirmauflösung lassen sich nicht einzeln erkennen. Die berechnete Probe bleibt davon unberührt.

Numerik und Bereich. Die Koordinaten entstehen durch kumulative Achtpunkt-Gauß-Legendre-Quadratur in u=s/a. Jedes Intervall erfüllt Δu≤0,1 und eine Änderung der Tangentenphase von höchstens 0,05 rad. Für Proben zwischen gespeicherten Stützpunkten wird das Teilintervall frisch integriert. Angeboten werden a=0,2–5 m und L=0 oder 0,001≤|L|≤12 m, insgesamt |s/a|≤60. Die Millimetergrenze betrifft nur den angebotenen Endparameter, nicht die mathematische Kurve oder Zwischenproben.

Bedienung und Speicherung. Änderungen an a, L oder dem Beispiel entfernen das Ergebnis. Zurücksetzen erhält Eingaben und Kreisauswahl. Neue Beispiele wählen zunächst das Ende; der beschriftete Regler bietet 1000 Intervalle. Zurücksetzen und erneutes Berechnen erhalten die gewählte Reglerposition. Bei Navigation innerhalb der Seite bleiben Kurve und Probe erhalten. Neuladen erhält gültige Parameter, Reglerposition und Kreisauswahl und wartet auf Berechnen. Das Mausrad über dem Diagramm scrollt die Seite.

Mit den normierten Fresnelintegralen gilt x(s)=a√π C(s/(a√π)) und y(s)=a√π S(s/(a√π)). Quellen: NIST DLMF 7.2.7–7.2.8, Definitionen der Fresnelintegrale und NIST DLMF 7.6, Potenzreihen.