Klothoide

Skala a, signierten Endparameter L und ein Beispiel wählen. Gültige Änderungen wirken direkt, beim Tippen nach kurzer Pause. Abspielen führt die Probe in nominell acht Sekunden von 0 bis L und springt dann zurück. Die Einstellungen enthalten eine genaue Prozentposition, einen Regler mit 1000 Intervallen, die Kreisoption und Zahlen zur Geometrie. Beide Achsen zeigen Meter im gleichen Maßstab. Ein negatives L ausprobieren: Die Krümmung wechselt das Vorzeichen, die Tangente zeigt weiterhin in Richtung zunehmenden s.

Konvention. Hier gilt x(s)=∫₀ˢ cos(t²/(2a²))dt und y(s)=∫₀ˢ sin(t²/(2a²))dt. Daraus folgen θ(s)=s²/(2a²), κ(s)=s/a² und r′(s)=(cosθ,sinθ). Die Tangente ist ein Einheitsvektor in Richtung zunehmenden s; der gezeichnete Pfeil hat eine feste Bildlänge. θ wird in Radiant angegeben und nicht auf eine Umdrehung zurückgeführt.

Negative Parameter. L ist eine Endkoordinate, keine negative geometrische Länge. Die gesamte Bogenlänge beträgt |L|. Für negatives s gilt x(−s)=−x(s), y(−s)=−y(s), θ(−s)=θ(s) und κ(−s)=−κ(s). Die Probe liegt im signierten Intervall von 0 bis L. Ihre Koordinaten werden für dieses s berechnet und nicht auf einen Kurvenstützpunkt gerundet.

Krümmungskreis. Für s≠0 ist der positive Radius R=1/|κ|, der Mittelpunkt (x−sinθ/κ, y+cosθ/κ). Das Vorzeichen von κ bestimmt die Kreisseite relativ zur Tangente. Der Kreis berührt die Kurve genau an der Probe, die auch allen angezeigten Zahlen zugrunde liegt. Bei s=0 sind Tangente (1,0) und κ=0; es gibt keinen endlichen Radius oder Mittelpunkt. L=0 ergibt daher einen einzelnen Punkt und den geraden Grenzfall.

Große Kreise werden am Diagrammrand abgeschnitten, ohne die Kurvenansicht zu vergrößern. Ihre sichtbaren Bögen werden relativ zur Probe berechnet, um Auslöschung durch sehr große Mittelpunktkoordinaten zu vermeiden. Kreissehnen haben höchstens 0,15 CSS-Pixel geometrischen Näherungsfehler. Die statische Kurve darf innerhalb von 0,2 CSS-Pixeln vereinfacht werden; feinere Windungen unter der Bildschirmauflösung lassen sich nicht einzeln erkennen. Die berechnete Probe bleibt davon unberührt.

Numerik und Bereich. Die Koordinaten entstehen durch kumulative Achtpunkt-Gauß-Legendre-Quadratur in u=s/a. Jedes Intervall erfüllt Δu≤0,1 und eine Änderung der Tangentenphase von höchstens 0,05 rad. Für Proben zwischen gespeicherten Stützpunkten wird das Teilintervall frisch integriert. Angeboten werden a=0,2–5 m und L=0 oder 0,001≤|L|≤12 m, insgesamt |s/a|≤60. Die Millimetergrenze betrifft nur den angebotenen Endparameter, nicht die mathematische Kurve oder Zwischenproben.

Mit Maus oder Stift verschieben. Strg/⌘ + Mausrad zoomt um die Mitte; normales Mausrad scrollt die Seite. Pfeiltasten verschieben die fokussierte Grafik, Home passt die Kurve ein.

Die gesamte Kurve bestimmt den anfänglichen Ausschnitt. Verschieben und Zoomen ändern nur die Ansicht; außerhalb liegende Kreise werden abgeschnitten. Reset stellt Standardkurve, Endprobe, Kreis und eingepasste Ansicht her. PNG exportiert die aktuelle Ansicht und Zahlenparameter. Eingabeentwürfe für a/L/Prozent und die Kreisauswahl bleiben auch unfertig erhalten. Ergebnisse, Ansicht und Animationsposition werden nicht gespeichert. Navigation/Neuladen berechnet die Kurve pausiert an der letzten manuellen Position neu. Verborgen gehaltene Ansichten frieren ein und setzen nur eine vorherige Wiedergabeabsicht fort. L=0 deaktiviert die Animation.

Mit den normierten Fresnelintegralen gilt x(s)=a√π C(s/(a√π)) und y(s)=a√π S(s/(a√π)). Quellen: NIST DLMF 7.2.7–7.2.8, Definitionen der Fresnelintegrale und NIST DLMF 7.6, Potenzreihen.