Zentralbahnen

Ein Teilchen der Masse 1 bewegt sich in einer Ebene unter der anziehenden Radialkraft F = −k/rⁿ, mit n = 1, 2 oder 3. Alle Modellgrößen sind dimensionslos. Es startet bei (x,y) = (r₀,0) mit (vₓ,vᵧ) = (0,vₜ). Eingaben sind k = 0,2–3, r₀ = 0,3–2,5 und vₜ = 0–6. Der Knopf Kreisgeschwindigkeit setzt vₜ = √(k/r₀ⁿ⁻¹) mit der verfügbaren Gleitkommagenauigkeit. Er ändert nur die Eingabe und startet keine Rechnung.

Das Potential lautet U(r) = k ln(r/1) für n = 1, −k/r für n = 2 und −k/(2r²) für n = 3. Der Bezugsradius des logarithmischen Potentials ist 1. Energie E = (vₓ²+vᵧ²)/2 + U(r) und Drehimpuls L = xvᵧ−yvₓ werden aus jedem gespeicherten Zustand berechnet. Das effektive Potential Ueff(r) = U(r) + L₀²/(2r²) verwendet den anfänglichen Drehimpuls; die gestrichelte Referenzlinie zeigt die Anfangsenergie E₀.

Nur beim invers-quadratischen Kraftgesetz n = 2 erscheint die Kepler-Exzentrizität e = |r₀vₜ²/k−1|. Für E₀ < 0 und L₀ > 0 erscheint zusätzlich die analytische Umlaufzeit 2π√(a³/k), mit a = −k/(2E₀). Bei radialem Start wird keine Umlaufzeit angezeigt. Für n = 1 oder 3 werden weder eine Kegelschnitt-Exzentrizität noch eine allgemeine Periode geschätzt. Die Beispiele zeigen Kreis und Ellipse für n = 2, eine Rosette für n = 1, eine Fluchtbahn für n = 2 sowie einen Sturz nach innen für n = 3. Eine Auswahl bereitet ausschließlich Eingaben vor.

Der Integrationshorizont T liegt bei 0,5–50, der maximale Schritt h bei 0,0005–0,02. Kartesisches Runge–Kutta vierter Ordnung verwendet höchstens min(h, 0,005r/|v|, 0,005√(rⁿ⁺¹/k), T−t); bei Geschwindigkeit null entfällt deren Schrittgrenze. Diese geometrische Begrenzung ist keine Fehlergarantie. Alle akzeptierten Zustände bleiben gespeichert. Ein kleineres h kann die Genauigkeit verbessern, soweit es die tatsächlichen Schritte weiter verkleinert; lange Läufe und viele Umläufe können weiterhin Fehler ansammeln.

Die Rechnung endet bei T, am inneren Radius 0,05r₀, am äußeren Radius 20r₀ oder nach 250000 akzeptierten Schritten. Radiusüberschreitungen werden innerhalb eines Schritts lokalisiert; auch ein innerer radialer Umkehrpunkt wird geprüft, damit kurze Grenzübertritte nicht übergangen werden. Das singuläre Zentrum wird nicht durchquert. Ein nichtendlicher numerischer Zustand beendet die Rechnung mit einem Fehler. Eine Radiusgrenze ist eine Rechengrenze, kein physikalisches Kollisionsmodell oder allgemeiner Fluchtnachweis: Bei n = 1 kann ein zunächst nach außen laufendes Teilchen zurückkehren. Tatsächlicher Endgrund und Endzeit bleiben sichtbar.

Die Energie- und Drehimpulsänderungen sind die vorzeichenbehafteten Werte E−E₀ und L−L₀ am Zeiger sowie deren größte Beträge über die gespeicherte Bahn. Es sind keine relativen Fehler; Anfangsenergie oder Anfangsdrehimpuls null sind deshalb gültig. Anfangs- und aktuelle Werte bleiben getrennt.

Simulieren rechnet in abbrechbaren Paketen. Die anschließende Wiedergabe durchläuft das berechnete Intervall in acht Darstellungssekunden, höchstens 0,25 Darstellungssekunden je Bild. Sie wählt den letzten gespeicherten Zustand bis zur gewünschten Zeit, integriert nicht erneut und erfindet keine Zwischenpositionen. Die gesamte Bahn bleibt mit gleichem x/y-Maßstab sichtbar. Nur der Zeichenpfad darf innerhalb von 0,25 Bildschirmpixeln vereinfacht werden; sämtliche numerischen Zustände und Driftwerte bleiben erhalten. Abspielen am Ende beginnt von vorn, Ende wählt den letzten Zustand. Pause, Ausblenden oder Verlassen verwerfen verstrichene Wiedergabezeit; offene Rechnungen werden beim Ausblenden oder Verlassen abgebrochen. Eingabeänderungen und Zurücksetzen löschen Ergebnisse, wobei Zurücksetzen die Felder erhält. Innerhalb der App bleiben fertiges Ergebnis und Zeiger pausiert erhalten; vollständiges Neuladen übernimmt nur gültige Eingaben.

Quellen: MIT, Peraire und Widnall, Vorlesung 16; Fitzpatrick, Allgemeine Zentralbewegung; sowie Aufgaben zu Zentralbahnen. Zahlenbereiche, Rechengrenzen und Wiedergabedauer sind Entscheidungen dieses Tools.