Buffons Nadelversuch

Dies ist Buffons Modell für kurze Nadeln: Eine gerade Nadel der Länge L fällt zwischen parallele Linien mit Abstand d, wobei 0 < L ≤ d gilt. Beide Längen stehen in Millimetern. Lage innerhalb einer Linienperiode und Richtung sind gleichverteilt. Eine gemeinsame Skalierung von L und d ändert die Wahrscheinlichkeiten nicht. Längere Nadeln erfordern eine andere Formel und werden abgelehnt.

Jeder Wurf verwendet eine Mittelpunktphase y ∈ [0,d) und einen Winkel θ ∈ [0,π). Ein Treffer liegt vor, wenn min(y,d−y) ≤ (L/2)|sin θ|. Berührung zählt an beiden Linien gleich; jede Nadel liefert höchstens einen Treffer. Die Modellwahrscheinlichkeit ist p = 2L/(πd). Nach n Würfen mit K Treffern beträgt die beobachtete Quote K/n und die Schätzung π̂ = 2(L/d)n/K. Ohne Treffer gibt es keine endliche π-Schätzung; dafür erscheint ein Strich statt einer Null.

Der Seed legt eine reproduzierbare Folge fest. Der 32-Bit-Generator verwendet s ← (1664525s + 1013904223) mod 2³² und u = (s + 0,5)/2³². Jede Nadel verbraucht genau zwei Werte, zuerst für y, dann für θ. Der Generator dient dem Lernen, nicht kryptografischen Zwecken. Die Darstellung verbraucht keine Zufallswerte: Die horizontale Lage hängt von der Wurfnummer und der verfügbaren Ansicht ab; vertikal wird y ausschließlich um ganze Vielfache von d versetzt. Der Boden zeigt die letzten 200 Nadeln mit gleichem x/y-Maßstab. Rote, dickere Nadeln treffen eine Linie; blaue, dünnere nicht. Die gestrichelte Linie markiert π. Zähler und linearer Verlauf verwenden alle Würfe, auch große frühe Schätzungen.

Pause unterbricht die Wiedergabe; Fortsetzen setzt denselben Lauf fort. Nach Abschluss beginnt Start einen neuen Lauf mit denselben Eingaben. Mit Animation werden etwa 250 Würfe pro Sekunde gezeigt; ohne Animation schließt Start den geplanten Lauf sofort ab. Die Einstellungen enthalten Animation und den reproduzierbaren Seed. Eine Nadel führt genau einen Wurf aus. Eingaben zeichnen automatisch ein leeres Experiment ohne Stichproben. Zurücksetzen behält die Eingaben und leert den Versuch. Rohe Eingaben einschließlich unfertiger Zahlen bleiben bei Navigation und Neuladen erhalten; Stichproben und Verläufe nicht. Ausblenden pausiert die Wiedergabe und verwirft aufgelaufene Anzeigezeit. Die Diagramme nutzen den verfügbaren Platz; die Konvergenzachse folgt der bereits beobachteten Wurfzahl. Gesamter Verlauf und frühe Ausreißer bleiben enthalten.

Erst bei der geplanten Endzahl erscheint ein Wilson-95%-Intervall [pL,pU] der Trefferquote mit z = 1,959963984540054. Für p̂ = K/n ist sein Mittelpunkt (p̂ + z²/(2n))/(1 + z²/n) und seine halbe Breite z√(p̂(1−p̂)/n + z²/(4n²))/(1 + z²/n). Daraus folgt das π-Intervall [2(L/d)/pU, 2(L/d)/pL]. Bei pL = 0 ist die obere Grenze unbeschränkt; das ist eine Intervallgrenze, kein verfügbarer Punktschätzwert. Eine nominelle Überdeckung von 95 % garantiert nicht, dass jeder Seedlauf π einschließt. Das Intervall ist auch nicht laufend gültig, wenn der Stoppzeitpunkt wiederholt nach dem Ergebnis gewählt wird.

Quellen: Treibergs, Integral Geometry, Folien 20–21 leitet Wahrscheinlichkeit und Schätzer für kurze Nadeln her. Die Erweiterung seiner Aussage L < d auf L = d folgt hier aus Stetigkeit und Grenzlagen mit Wahrscheinlichkeit null. NIST: Binomial Proportions beschreibt das Wilson-Intervall. Die monotone Umkehr zum π-Intervall und die Ausgabe erst am geplanten Ende sind Entscheidungen dieses Tools.