Buffons Nadelversuch

Dies ist Buffons Modell für kurze Nadeln: Eine gerade Nadel der Länge L fällt zwischen parallele Linien mit Abstand d, wobei 0 < L ≤ d gilt. Beide Längen stehen in Millimetern. Lage innerhalb einer Linienperiode und Richtung sind gleichverteilt. Eine gemeinsame Skalierung von L und d ändert die Wahrscheinlichkeiten nicht. Längere Nadeln erfordern eine andere Formel und werden abgelehnt.

Jeder Wurf verwendet eine Mittelpunktphase y ∈ [0,d) und einen Winkel θ ∈ [0,π). Ein Treffer liegt vor, wenn min(y,d−y) ≤ (L/2)|sin θ|. Berührung zählt an beiden Linien gleich; jede Nadel liefert höchstens einen Treffer. Die Modellwahrscheinlichkeit ist p = 2L/(πd). Nach n Würfen mit K Treffern beträgt die beobachtete Quote K/n und die Schätzung π̂ = 2(L/d)n/K. Ohne Treffer gibt es keine endliche π-Schätzung; dafür erscheint ein Strich statt einer Null.

Der Seed legt eine reproduzierbare Folge fest. Der 32-Bit-Generator verwendet s ← (1664525s + 1013904223) mod 2³² und u = (s + 0,5)/2³². Jede Nadel verbraucht genau zwei Werte, zuerst für y, dann für θ. Der Generator dient dem Lernen, nicht kryptografischen Zwecken. Die Darstellung verbraucht keine Zufallswerte: Die horizontale Lage hängt nur von der Wurfnummer ab; vertikal wird y ausschließlich um ganze Vielfache von d versetzt. Der Boden zeigt die letzten 200 Nadeln mit gleichem x/y-Maßstab. Zähler und linearer Verlauf verwenden alle Würfe, auch große frühe Schätzungen.

Start und Fortsetzen zeigen etwa 250 Würfe pro Sekunde. Ein Bild berücksichtigt höchstens 0,1 Sekunden; Pause, Ausblenden oder Verlassen verwerfen verbleibende Darstellungszeit. Eine Nadel führt genau einen Wurf aus. Jede Eingabeänderung löscht den alten Lauf; Zurücksetzen erhält die Felder. Bei der Rückkehr innerhalb der App bleibt der Lauf pausiert erhalten. Vollständiges Neuladen übernimmt nur gültige Eingaben.

Erst bei der geplanten Endzahl erscheint ein Wilson-95%-Intervall [pL,pU] der Trefferquote mit z = 1,959963984540054. Für p̂ = K/n ist sein Mittelpunkt (p̂ + z²/(2n))/(1 + z²/n) und seine halbe Breite z√(p̂(1−p̂)/n + z²/(4n²))/(1 + z²/n). Daraus folgt das π-Intervall [2(L/d)/pU, 2(L/d)/pL]. Bei pL = 0 ist die obere Grenze unbeschränkt; das ist eine Intervallgrenze, kein verfügbarer Punktschätzwert. Eine nominelle Überdeckung von 95 % garantiert nicht, dass jeder Seedlauf π einschließt. Das Intervall ist auch nicht laufend gültig, wenn der Stoppzeitpunkt wiederholt nach dem Ergebnis gewählt wird.

Quellen: Treibergs, Integral Geometry, Folien 20–21 leitet Wahrscheinlichkeit und Schätzer für kurze Nadeln her. Die Erweiterung seiner Aussage L < d auf L = d folgt hier aus Stetigkeit und Grenzlagen mit Wahrscheinlichkeit null. NIST: Binomial Proportions beschreibt das Wilson-Intervall. Die monotone Umkehr zum π-Intervall und die Ausgabe erst am geplanten Ende sind Entscheidungen dieses Tools.